Java 密码学中关于一组整数Z*p中元素顺序的群论

我有点陷入群论的深渊，我对我上的密码学课有点迷茫。 基本上，我必须用java实现的一个实用程序是

顺序（素数、因子列表） p-1，任何a）

这将返回组Z*p中a的顺序，其中f是p-1的素因子列表。确保当f包含重复项时，方法有效。例如，考虑p＝17＜/p>的情况。 以下是我到目前为止所做的（摘自笔记中的步骤）

公共静态BigInteger顺序（BigInteger p、列表f、BigInteger a）{
//算法是这样开始的
//首先将t设置为p-1，即t=p1 p2…pn
BigInteger t=p.subtract（BigInteger.ONE）；
对于（BigInteger pi:f）{
//测试a^t1=1模p，其中t1=t/pi
大整数t1=t除以（pi）；
if（Practical5ExponentiationModMSquareAndMultiply.expm（p，a，t1）.equals（biginger.ONE））{
t=t1；
System.out.println（“mod=“+t”之后的t）；
System.out.println（“mod=“+pi”后的pi）；
}
}       
返回t；
}

素因子f的列表由另一种方法生成，然后传入

我的笔记很难理解，我想知道是否有人能告诉我应该归还什么。

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另外，你能给我一个可能的理解群体理论的片段，因为它可以帮助我进一步的实践

你在寻找最小的数

o

，这样

a^o==1（mod p）

，即最小的数

o

使得

p

除以

a^o-1

你需要的群论结果是，整数的乘法群mod p是p-1阶循环的。这意味着：

• 顺序

  o

  除以

  p-1

  并满足

  a^o==1（mod p）

• 顺序

  o

  是满足上述条件的最小数字

因此，您可以通过取

p-1

的素因子，并重复将

p-1

除以它们，直到

p

除以

a^n-1

不再成立，从而找到顺序

示例1：p=13，p-1=2*2*3，a=5

对于p=2，5^（12/2）==12（mod 13），因此不能丢失顺序中的2

对于p=3，5^（12/3）==1（mod 13），因此可以按顺序丢失3

因此，顺序是2*2=4

给您的示例（p=17）是另一个说明性案例：

示例2：p=17，p-1=2*2*2*2，a=9

9^（16/2）==1（mod 17），因此您可能会丢失前2个

9^（16/4）==16（mod 17），因此您不能丢失第二个2，并且可以停止搜索

因此，顺序是2*2*2=8

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希望这足以让你看到算法。

为这个答案欢呼，但是从这个算法中，我如何找到一个生成器alpha，它是

Z*p

的一个元素，其中p是素数？所以我知道，

euler（p）=p-1

因此，如果

ord（alpha）=p-1

循环群的生成器是阶数等于群大小的元素，那么aplha就是一个生成器，所以你需要寻找阶数为p-1的a。请注意，它们有很多，所以不需要花很长时间就可以找到一个。因此，一个简单的循环就足够了。只要你找到一个就逃离这个循环。不过我觉得很难，现在就进入DLP！！

public static BigInteger order(BigInteger p, List<BigInteger> f, BigInteger a){
    //Algorithm starts like this
    //Start by setting t equal to p-1 i.e t= p1 p2...pn
    BigInteger t = p.subtract(BigInteger.ONE);
    for(BigInteger pi : f){
        //test if a^t1 = 1 mod p where t1 = t/pi
        BigInteger t1 = t.divide(pi);

        if(Practical5ExponentiationModMSquareAndMultiply.expm(p, a, t1).equals(BigInteger.ONE)){
            t = t1;
            System.out.println("t after mod = "+t);
            System.out.println("pi after mod = "+pi);
        }
    }       
    return t;

}