Java 如何使用指数递归函数找到x^63的乘法数，以及如何证明其正确性？

我如何证明这个算法是O（logn）

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对方法

求幂

的每次递归调用都是一个乘法步骤。因此，您需要计算递归调用的数量。有几种方法可以实现这一点。我选择向该方法添加另一个参数

public static long exponentiation(long x, int n, int count) {
    if (n == 0) {
        System.out.println("steps = " + count);
        return 1;
    }
    else if (n % 2 == 0) {
        x = exponentiation(x, n / 2, count + 1);
        return x * x; 
    }
    else {
        return x * exponentiation(x, n - 1, count + 1);
    }
}

下面是对方法

求幂的初始调用

exponentiation(2, 63, 0);

当我运行上述代码时，将打印以下内容

steps=11
您也可以使用
静态
计数器（无需更改函数原型）：

但是，每次调用函数之前都需要重置计数器，即设置
counter=0

理论分析
请注意，您需要使用计数器来证明它在
O（log（n））
中。为了证明复杂性，您只需要通过查看代码流来找到复杂性项。假设
T（n）
是计算
x^n
的乘法数。因此，基于书面代码，
T（n）=T（n/2）+1
，如果
n
是偶数，
T（n）=T（n-1）+1
，如果
n
是奇数。现在，至少在两个连续递归中的一个递归中，输入
n
是偶数。因此，要达到
n=0，最多需要
2个log（n）
。因为，对于每个偶数输入，下一个输入将减半。因此，我们可以得出结论，该算法处于
O（log（n））
中。您只需在方法中添加一个计数器，调用一次，然后检查计数器的值。这将保证正确性，并且（根据经验）是免费的。你能详细说明一下你是如何得出乘法步骤为11的答案的吗？你能带我走过台阶吗？@BeUndead说了什么。
exponentiation(2, 63, 0);

public static long counter = 0;

public static long exponentiation(long x, int n){
    if(n == 0){
        return 1;
    }
    else if (n % 2 == 0){
        x = exponentiation(x, n / 2);
        counter++;
        return x * x; 
    }
    else{
        counter++;
        return x * exponentiation(x, n-1);
    }
}