Julia 稀疏酉矩阵对角化

我必须收集稀疏酉矩阵的特征值。 基本上，每个元素中只有一个元素不同于零 行和列（它是一些马尔可夫过程的传递矩阵）

我的问题是如何进行，最好的选择是什么 在所有功能套件中。我知道EIG能帮上忙，

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但我也看到了必须选择初始向量。

下面的代码最终定义了

pdeig

，它返回矩阵的特征值，该矩阵是

pdmatrix

，即置换矩阵和对角矩阵的乘积，或者换句话说，像问题描述的矩阵。也可以快速计算特征向量（它们有明确的公式）：

例如，以下各项：

m = [ 0.0 1.0 0.0 ; 2.0 0.0 0.0 ; 0.0 0.0 0.0 ]
pdeig(m)

产出：

    3-element Array{Complex{Float64},1}:
 -1.41421+1.73191e-16im 
  1.41421-3.46382e-16im 
              0.0+0.0im

由于这些矩阵是可对角化的，特征值应该提供对角矩阵（只需对它们使用

diagm

）

这些矩阵是非常结构化的，适当的Julia处理将为这些矩阵定义一个类型，然后定义各种线性代数函数以分派给该类型

如果出现错误，只需添加一条注释，我将尝试修复它们（或者，如果我碰巧看到一个很好的重构，那么我将进行编辑）

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顺便说一句，计算会引入小的数值误差，这些误差应该不是问题，并且可以通过适当的舍入来消除（因此无需担心

-1.0

是

-1.0+1.23424e-16im

）

矩阵在每列和每行中是否有一个非零条目？在这种情况下，它是一个置换矩阵乘以一个扩张矩阵，特征值很容易计算（根据置换周期乘以扩张因子的适当比率的复数单位向量）是的，事实上，在极限情况下，它只是一个典型的置换矩阵。你怎么知道这个因式分解？如果存在简并（许多特征值等于零）和/或向量空间尺度的维数为N^2，它们仍然容易计算吗？非常感谢。现在的问题是，我想这是一个定理，我在哪里可以找到它的证明呢？最小谷歌搜索没有找到置换+扩张的定理，但仅仅是置换矩阵，有：这解释了大部分复杂性（置换的循环结构是在

pdeig

中计算的）。。。。也许这应该成为一个新的定理（或引理）。最后一个问题，这是你们对膨胀的定义吗？谷歌搜索置换+缩放，给出了以下论文，详细说明了证明计算正确的理论：

    3-element Array{Complex{Float64},1}:
 -1.41421+1.73191e-16im 
  1.41421-3.46382e-16im 
              0.0+0.0im