lambda演算中的算术定义

正如秘书长所说：

在lambda演算中，有几种可能的方法来定义自然数，但到目前为止，最常见的是Church数字，其定义如下：

我只知道0定义中的

λx.x

部分是恒等函数，数字与f重复多少次有关（在0f重复0次），但为什么这样定义，如何在一个容易理解的句子中解释

λf.λx.x

（0）和

λf.λx.f（fx）

（2）（尤其是

f

所代表的内容）

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补充：关于定义有什么值得解释的吗？

因为一切都是lambda项，在lambda演算中，您只能定义对其他lambda项“操作”的lambda项（函数）（只允许使用λ符号书写的“值”）

因此，如果我们想从理论的角度证明，lambda演算允许我们编写任何可计算函数，我们需要找到自然数的合适表示（编码，用技术术语来说）来定义可计算函数（请注意，使用Church编码，您是通过lambda术语表示的，而不是！）

将数字编码为lambda术语后，可以在“数字”上定义所有常用函数。例如，后续函数可以定义为：

SUCC := λn.λf.λx.f (n f x)

它取一个“数字”（即编码一个数字的lambda项）并返回其后继项（即编码该数字后继项的lambda项）。例如，

（（SUCC）0）

β-减少为

1

（即

（（λn.λf.λx.f（nfx））λf.λx.x）

是β-等价于

λf.λx.f x

），等等。从这一点开始，我们可以定义“数”上的所有其他函数，如和、乘、幂等

这种编码的用途是什么？当然，给出一种实用的编程语言来实现两个数字的求和是没有用的。但它允许研究这种形式主义，例如，提供一种表达Church Turing命题的方法，该命题断言任何可计算运算符（及其操作数）可以用Church编码表示

SUCC := λn.λf.λx.f (n f x)