Lambda演算如何加上数字？

我一直在读关于lambda演算的书，喜欢它提出的想法，但有些事情我就是解释不了

lambda演算如何进行数字相加

我明白

(\x . + x x) 3

与

3+3

（即

6

）相同，但添加功能首先是如何实现的

它是编译器/语言必须内置的东西，还是可以由lambda演算单独定义？

假设您使用的是加法，而不是一些基本的数字类型：

\x \y . (\z . x(y(z)))

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如果您向lambda演算中添加了某种基本数字类型，那么加法必须是基本的，或者必须按照类似后续操作的方式进行定义。

是的，您可以在lambda演算中定义数字（实际上是任意数据类型）。这是我的想法

首先，让我们选择要定义的数字。最简单的数字是自然数：0、1、2、3等等。我们如何定义这些？通常的方法是使用：

0是一个自然数

如果n是一个自然数，那么Sn是一个自然数

这里，S表示n的后继，或n+1。因此，前几个Peano自然数是0、S0、SS0、SSS0等等，这是一个一元表示

现在，在lambda演算中，我们可以表示函数应用程序，所以我们可以表示Sn，但我们不知道如何表示0和S本身。但幸运的是，lambda演算为我们提供了一种推迟选择的方法：我们可以将它们作为参数，让其他人来决定！让我们为给定的0写z，为给定的s写s。然后，我们可以将前几个数字表示为：⟦N⟧ 对于“自然数n的lambda演算表示”：

• ⟦0⟧ = λzs。z
• ⟦1.⟧ = λzs。s z
• ⟦2.⟧ = λzs。s（sz）
• ⟦3.⟧ = λzs。s（s（s z））

正如自然数n是S到0的n个应用一样，n的lambda演算表示是任何后继函数S到任何零z的n个副本的应用。我们也可以定义继任者：

• ⟦0⟧ = λzs。z
• ⟦s⟧ = λn。λzs。s（n z s）

在这里，我们看到，在确保n使用相同的z和s之后，后继者将s的一个额外副本应用于n。我们可以看到，这给了我们相同的表示，使用⇝ 对于“评估为”：

• ⟦0⟧ = λzs。z
• ⟦1.⟧ = ⟦S0⟧
  =（λn.λz s.s（nz s））（λz′.z′）
  ⇝ λzs。s（（λz′.z′）zs）
  ⇝ λzs。s z
• ⟦2.⟧ = ⟦SS0⟧
  =（λn.λz s.s（nz s））（（λn′.λz′.s′（n′z′））（λz〃s〃.z〃））
  ⇝ （λn.λzs.s（nzs））（λz′.s′（（λz〃s〃.z〃）z′）
  ⇝ （λn.λzs.s（nzs））（λz′.s′.s′z′）
  ⇝ λzs。s（（λz′s′.s′）zs）
  ⇝ λzs。s（sz）
• ⟦3.⟧ = ⟦SSS0⟧
  =（λn.λz s.s（nz s））（（λn′.λz′.s′（n′z′））（（λn〃.λz〃s〃.s〃（n〃z〃s））（λz〃s〃.z〃）
  ⇝ （λn.λz s.s（nz s））（（λn′.λz′.s′（n′z′））（λz〃s〃.s〃（（λz′.s′）z〃s〃））
  ⇝ （λn.λz s.s（nz s））（（λn′.λz′.s′（n′z′））（λz〃s〃.s〃z〃））
  ⇝ （λn.λz s.s（nz s））（λz′.s′（（λz〃s〃.s〃z〃）z′）
  ⇝ （λn.λzs.s（nzs））（λz′s′.s′（s′z′））
  ⇝ λzs。s（（λz′s′.s′（s′z′））zs）
  ⇝ λzs。s（s（s z））

（是的，这会变得很难快速阅读。如果你觉得需要更多的练习，那么完成它是一个很好的练习——它会让我在我最初写的东西中发现一个错误！）

现在，我们已经定义了0和S，这是一个好的开始，但我们也需要一个归纳原理。毕竟，这就是自然数的本质所在！那么，这将如何工作？事实证明我们基本上已经准备好了。当以编程的方式思考归纳原理时，我们需要一个函数，该函数以基本情况和归纳情况作为输入，并生成从自然数到某种输出的函数。我将把输出称为“n的证明”。那么我们的投入应该是：

一个基本情况，这是我们对0的证明

一种归纳案例，它是一个函数，它将n的证明作为输入，并生成Sn的证明

换句话说，我们需要某种零值和某种后继函数。但这些只是我们的z和s参数！结果证明，我们把自然数表示为它们的归纳原理，我认为这很酷

这意味着我们可以定义基本的操作。我将在这里定义加法，其余部分作为练习。在我们的归纳公式中，我们可以如下定义加法：

m+0=m

m+Sn=S（m+n）

这是在第二个参数上归纳定义的。那么我们如何翻译呢？它变成：

• ⟦+⟧ = λmn。λzs。n（mzs）s

这是从哪里来的？我们把归纳原理应用于n。在基本情况下，我们返回m（使用环境z和s），如上所述。在归纳的情况下，我们将一个后继（环境s）应用到我们得到的东西上。所以这一定是对的

另一种方法是，因为nzs将s的n个拷贝应用于z，我们得到n（mzs）s将s的n个拷贝应用于mzs，总共n+m个拷贝。同样，这是正确的答案

（如果你仍然不相信，我鼓励你举出一个小例子，比如⟦1+2⟧; 它应该小到可以处理，但大到至少可以处理

 data Int = NonNeg Nat | NegSucc Nat

 data Pos = One
          | Twice     Pos
          | TwiceSucc Pos

 data Nat = Zero | PosNat Pos