Logic 自反和非自反传递闭包

Alloy中的自反的和非自反传递闭包是什么？它们在Alloy中有什么区别

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谢谢，

非自反传递闭包操作符是

^

foo。^bar

是

foo

关于

bar

的非自反传递闭包。这将返回通过将

.bar

应用到

foo

一次或多次可以生成的所有内容集。例如，

foo.^bar

等于以下表达式的并集：

    foo.bar
    foo.bar.bar
    foo.bar.bar.bar
    foo.bar.bar.bar.bar 
    ...

    foo
    foo.bar
    foo.bar.bar
    foo.bar.bar.bar
    ...

这个列表是无限的

自反传递闭包运算符是

*

foo.*bar

是

foo

关于

bar

的自反传递闭包。这将返回通过将

.bar

应用到

foo

零次或多次可以生成的所有内容集。例如，

foo.*bar

等于以下表达式的并集：

    foo.bar
    foo.bar.bar
    foo.bar.bar.bar
    foo.bar.bar.bar.bar 
    ...

    foo
    foo.bar
    foo.bar.bar
    foo.bar.bar.bar
    ...

---

这个列表也是无限的。这相当于

foo+foo.^bar

传递闭包（

^

）和

自反传递闭包（
*
）都是一元运算符，只能应用于二元关系的操作数

二元关系的传递闭包
bar
是定义为

^bar = bar + bar.bar + bar.bar.bar + ...

*bar = iden + ^bar

二元关系的自反传递闭包
bar
是定义为

^bar = bar + bar.bar + bar.bar.bar + ...

*bar = iden + ^bar

其中，
iden
是标识二进制关系

这两个可传递闭包运算符最常见的使用模式是前面有关系联接时，如：
foo.^bar
和
foo.*bar
提供的示例中所示。值得注意的是，
^
和
*
中没有魔法：点运算符（
）是相同的旧关系联接，
^
和
*
运算符是上述定义的闭包运算符。因此，如果您计算出这些方程，您将得到与已提供的
foo.^bar
和
foo.*bar
相同的表达式：

foo.^bar = foo.(^bar) = foo.(bar + bar.bar + ...) = foo.bar + foo.bar.bar + ...
foo.*bar = foo.(*bar) = foo.(iden + bar + bar.bar + ...) = foo + foo.bar + foo.bar.bar + ...