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Logic isabelle证明加法的交换性

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我试图证明一个自定义的
add
函数在Isabelle/HOL中的可交换性。我设法证明了关联性，但我被困在这一点上了

添加的定义如下：


fun add :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
"add 0 n = n" |
"add (Suc m) n = Suc(add m n)"


结合性的证明：


lemma add_Associative: "add(add k m) z = add k (add m z)"
apply(induction k)
apply(auto)
done


交换性的证明：


theorem add_commutativity: "add k m = add m k"
apply(induction k)
apply(induction m)
apply(auto)


我有以下目标：


goal (3 subgoals):
1. add 0 0 = add 0 0
2. ⋀m. add 0 m = add m 0 ⟹
     add 0 (Suc m) = add (Suc m) 0
3. ⋀k. add k m = add m k ⟹
     add (Suc k) m = add m (Suc k)


应用auto后，我只剩下子目标3：


3. ⋀k. add k m = add m k ⟹
     add (Suc k) m = add m (Suc k)



编辑：与其说我在寻找答案，不如说我在向正确的方向努力。这些是一本名为《混凝土力学》的书中的练习。
我建议将证明尽可能模块化（即，证明中间引理，这将有助于解决交换性证明）。为此，在应用完全自动化（如您的
apply（auto）
）之前，思考
induct
引入的子目标通常会提供更多信息

此时，子目标是：


 goal (2 subgoals):
  1. add 0 m = add m 0
  2. ⋀k. add k m = add m k ⟹ add (Suc k) m = add m (Suc k)


让我们分开来看


  • 使用
    add
    的定义，我们只能简化左侧，
i、 例如，
    添加0 m=m
    。然后问题仍然是如何证明
    addm0=m
    。
你这样做是作为你主要证据的一部分。我认为它会增加
证明下列独立引理的可读性
    

    lemma add_0 [simp]:
  "add m 0 = m"
  by (induct m) simp_all

    
并使用
    [simp]
    将其添加到自动化工具中（如
    simp
    和
    auto
    ）。此时
第一个子目标可以通过
    simp
    求解，只剩下第二个子目标
    • 

  • 在应用
    add
    的定义以及归纳假设（
    add km=add mk
    ）之后，我们必须证明
    Suc（add mk）=add m（Suc k）
    。这看起来非常类似于
    add
    原始定义中的第二个等式，只是使用了交换的参数。（从这个角度来看，我们必须证明的第一个子目标对应于具有交换参数的
    add
    定义中的第一个方程。）现在，我建议尝试证明一般引理
    add m（Suc n）=Suc（add m n）
    ，以便继续
    • 

    我在评论chris的回答时回答了RainyCats的问题：
“伊莎贝尔如何证明”。我给出了在Isar中手动和逐步添加
    add
    的关联性的详细证明
    
通过k上的归纳手动关联：
    

      

    • 对于
      k
      =
      0
      我们必须证明
      add（add 0 m）z=add 0（add m z）
      
我们用
      添加的定义重写：
      

      fun add :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
"add 0 n = n" |
"add (Suc m) n = Suc(add m n)"

      

        

      • add（add0 m）z
        ⇢ <代码>添加m z
      • 

    • add0（addmz）
      ⇢ <代码>添加m z
    然后，目标通过
    =
    的自反性得到证明

  • 对于
    k
    =
    Suc k'

    • 我们假设
      add（addk'm）z=addk'（addmz）
    • 我们必须证明
      add（add（Suc k'）m）z=add（Suc k'）（add m z）
    我们用
    添加的定义重写：
    

    fun add :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
"add 0 n = n" |
"add (Suc m) n = Suc(add m n)"

    

      

    • add（add（Suc k'）m）z
      ⇢ <代码>添加（Suc（add k'm））z
    ⇢ <代码>Suc（添加（添加k'm）z）
  • add（Suc k'）（add m z）
    ⇢ <代码>Suc（添加k'（添加mz））
    • 通过归纳假设：
    Suc（add（add k'm）z）
    ⇢ <代码>Suc（添加k'（添加mz））

    然后通过
    =
    的自反性证明目标

    在具有这种详细程度的会计准则专家组中，这将给出：

    lemma add_Associative: "add(add k m) z = add k (add m z)"
proof (induction k)
  case 0
    have "add (add 0 m) z = add m z" by (subst add.simps, intro refl)
    moreover have "add 0 (add m z) = add m z" by (subst add.simps, intro refl)
    ultimately show ?case by (elim ssubst, intro refl)
next
  case (Suc k')
    have "add (add (Suc k') m) z = add (Suc (add k' m)) z" by (subst add.simps, intro refl)
    also have "… = Suc (add (add k' m) z)" by (subst add.simps, intro refl)
    also have "… = Suc (add k' (add m z))" by (subst Suc, intro refl)
    moreover have "add (Suc k') (add m z) = Suc (add k' (add m z))" by (subst add.simps, intro refl)
    ultimately show ?case by (elim ssubst, intro refl)
qed
    在这里，我已经尽了可能小的步骤，所有的
    by…
    都可以被
    by simp

    取代，谢谢你的帮助！只是个问题，我想我真的不明白伊莎贝尔是怎么证明的。我知道归纳假说是如何工作的，但如果你让我手动证明这一点，我就无法做到。有没有学习这门数学的好资源（书籍/在线课程）？如果你理解归纳法，剩下的部分将由简化器求解，简化器根据所谓的simpset中包含的等式引理重写术语。引理通过“primrec”和“fun”（定义的方程式）添加到simpset中，并通过“[simp]”属性手动添加。重写是有方向的，总是从左到右，所以右手边应该比左手边“简单”，并且应该避免循环。我在回答中添加了更多细节。