Math 同一个图的两个最小生成树可以有不同的边权重吗？

一个图可以有许多不同的最小生成树（MST），但是不同的MST可以有不同的边权重集吗？例如，如果一个MST使用边权重{2,3,4,5}，那么每隔一个MST必须具有边权重{2,3,4,5}，或者其他一些MST可以使用不同的权重集合吗

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给我这个想法的是这样一个特性，即一个图只有在其边权重不同时才具有唯一的MST。

这些集必须具有相同的权重。这里有一个简单的证明：假设他们没有。设T1和T2是具有不同多重边权的图G的mst

将这些边按权重的升序排序。由于两个多重权重集不相同，请查看权重首先发散的位置。在T1或T2（假设WLOG，它在T1中）中会有一些最小的权重w*，其中T1和T2的所有权重的边数相同，小于w*，但T1的权重w*的边数比T2多。直观地说，权重w*的边是T1“领先”T2的地方

现在，考虑T1中加权W*的边集；让我们称他们为W*。考虑当你把这些边添加到T2时会发生什么。每次我们这样做，它就会在T2中结束一个周期。请注意，新添加的边e不能是该循环上的最大重量边；如果是的话，那么我们可以保证e不会出现在任何MST中，但我们知道它在一个MST中（即T1）。因此，循环上必须有重量大于或等于w*的边

如果其中一条边的权重严格大于w*，那么我们可以通过删除该边来降低T2的成本。但这是不可能的，因为我们知道T2是MST

因此，我们知道循环中还有一条边的权重等于w*。如果这些边中的任何一条不在T1中，则选择任意一条并将其删除。请注意，我们刚刚将T2中的一条边替换为T1中的一条等重边。因为T1中的权重边w*比T2中的权重边w*多，所以我们不能永远这样做，最终我们会遇到这样的情况：循环结束，所有最大权重边的权重都是w*并且来自T1

那么在这种情况下会发生什么呢？好吧，想想循环C，当我们添加触发它的边时，它是闭合的。我们将证明，在这种情况下，T1不能是MST，这与我们最初的假设相矛盾，并给出了我们想要的结果

设C*是C中成本小于w*的边集。按权重顺序处理这些边，将它们一次添加到T1中。每次这样做，我们就结束了一个循环。该循环中的最大权重边不能是我们从T2添加的边（因为根据循环属性，该边本来不应该在T2中）。因此，要么最大权重边的权重大于T2中的边（在这种情况下，我们将其删除，与T1是MST相矛盾），要么它的权重相同。最终，我们转换T1，使其具有与T2相同的成本小于w*的边集。但这是一个问题，因为在这一点上，我们知道循环C出现在T1中，这意味着T1不是MST。这给了我们所需要的矛盾

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希望这有帮助

你有没有试过用两个最轻的生成树构造一个加权图，它们有不同的多重权重集？我没有听你最后一段。当您从C*中获取边并移动到T1时，同时从T1中移除具有相同权重的边。但由于T1和T2的边数相等，且权重小于w*，这并不意味着C最终都会在T1中。你可以有一个循环a-B-C-D，重量AB:w，BC:w，CD:w'，DA:w'其中w'