Matlab中函数的解析傅里叶变换与FFT

我已经为这个问题修改了中的代码。我正在尝试进行FFT，并将结果与中的解析表达式进行比较

我的代码是：

a = 1.223;
fs = 1e5; %sampling frequency
dt = 1/fs;
t = 0:dt:30-dt;     %time vector
L = length(t); % no. sample points
t = t - 0.5*max(t); %center around t=0

y = ; % original function in time
Y = dt*fftshift(abs(fft(y))); %numerical soln

freq = (-L/2:L/2-1)*fs/L; %freq vector
w = 2*pi*freq; % angular freq

F = ; %analytical solution

figure; subplot(1,2,1); hold on
plot(w,real(Y),'.')
plot(w,real(F),'-')
xlabel('Frequency, w')
title('real')
legend('numerical','analytic')
xlim([-5,5])
subplot(1,2,2); hold on;
plot(w,imag(Y),'.')
plot(w,imag(F),'-')
xlabel('Frequency, w')
title('imag')
legend('numerical','analytic')
xlim([-5,5])

如果我研究高斯函数，让

y = exp(-a*t.^2); % original function in time

F = exp(-w.^2/(4*a))*sqrt(pi/a); %analytical solution

在上面的代码中，当绘制函数的实部和虚部时，似乎有很好的一致性：

但如果我研究衰减指数乘以Heaviside函数：

H = @(x)1*(x>0); % Heaviside function
y = exp(-a*t).*H(t);

F = 1./(a+1j*w); %analytical solution

然后

为什么会有差异？我怀疑它与行

Y=

有关，但我不确定原因或方式

编辑：我将

ifftshift

更改为

fftshift

中的

Y=dt*fftshift（abs（fft（Y））。然后，我还拆下了
abs
。第二个图形现在看起来像：


“镜像”图形背后的数学原因是什么？我如何删除它？
问题底部的图没有镜像。如果你用线而不是点来绘制这些曲线，你会看到数值结果的频率非常高。绝对分量匹配，但相位不匹配。当这种情况发生时，几乎可以肯定的是，时间域发生了变化

和实际上，在中间定义源函数的时域函数。FFT期望原点位于第一个（最左侧）样本处。这就是
ifftshift
的作用：

Y = dt*fftshift(fft(ifftshift(y)));

ifftshift
将原点移动到第一个样本，为
fft
调用做准备，
fftshift
将结果原点移动到中间，以便显示


编辑

您的
t
没有0：

>> t(L/2+(-1:2))
ans =
  -1.5000e-05  -5.0000e-06   5.0000e-06   1.5000e-05

t（楼层（L/2）+1）
处的样本需要为0。这就是
ifftshift
移动到最左边的样本。（我在那里使用
floor
，以防
L
的尺寸是奇数，而不是这里的情况。）

要生成正确的
t
，请执行以下操作：

fs = 1e5; % sampling frequency
L = 30 * fs;
t = -floor(L/2):floor((L-1)/2);
t = t / fs;

我首先生成一个长度正确的整数
t
轴，0位于正确的位置（
t（楼层（L/2）+1）==0
）。然后我通过除以采样频率将其转换为秒

有了这个
t
，我上面建议的
Y
，剩下的代码，我看到了高斯示例：

>> max(abs(F-Y))
ans =    4.5254e-16

对于另一个函数，我看到了更大的差异，顺序是6e-6。这是因为无法对Heaviside函数进行采样。在采样函数中需要t=0，但H在0处没有值。我注意到真实分量有一个类似大小的偏移，这是由t=0时的样本引起的

通常。如果我这样做，偏移量将被完全移除，真实分量的最大差值将减少3个数量级（最大误差发生在非常接近0的值上，我看到的是锯齿形图案）。对于虚部，最大误差减小到3e-6，仍然相当大，并且在高频时最大。我将这些误差归因于理想和采样的Heaviside函数之间的差异

您可能应该将自己限制为带限函数（或接近带限函数，如高斯函数）。你可能想用一个小的sigma（<代码> sigma＝0.8×fs< /代码>）代替一个误差函数（高斯积分），这是最小的sigma，我会考虑适当的采样）。p> 傅里叶变换虽然密切相关，但不是离散傅里叶变换（通过FFT算法实现）。因此，在某些特定条件下，你可能会得到非常接近的结果，但通常你也会得到明显的差异（正如你所观察到的），通过取
abs，你消除了虚部，所以它总是0。我想你需要的是
fftshift
而不是
ìfftshift
@Zep这只是一个MWE-最终我需要对没有解析形式的更复杂的函数进行FFT和IFFT。所以我做了一些类似于
FFT{IFFT[F（w）]*IFFT[G（w）]/IFFT[J（w）]}
的事情，我只知道
F，G，J
的频率向量。@Mylama Oblongata我删除了我的评论，因为我认为
ifftshift
会移位和逆变换，而它只会移位。我猜第一个实验，用高斯，因为abs的呼叫而工作？它将删除计算错误的相位分量。在第二个图中，您可以看到abs的效果：没有虚部，纯正实部。当您在第三个绘图中删除
abs
时，您会看到相位完全错误，但幅度是正确的。关于
ifftshift
，您是对的，现在绘图看起来正常。但当我用高斯函数测试这行代码时，FFT也给出了一个小的虚部，大约为10^（-6）。为什么会有它？有没有办法去除它？@Mymaloblongata:我猜是数字不准确。或者这可能是输入函数计算中的一个很小的变化。您的时间轴样本中是否有实际的
t==0
？使用
dt
增量计算
t
会引入错误，
t-0.5*max（t）
可能也不精确。尝试用整数生成一个
t
向量，然后除以
fs
。确保
t（loor（L/2）+1）=0
。有关冒号运算符与
linspace
之间的差异，请参见此处：@mymaloblongata:我已使用正确的形式更新了答案，以构建时间轴
t
。