Matlab中多变量自定义累积分布函数的采样

考虑一个5变量（cdf），我称之为F

我想在Matlab中从这个cdf中随机抽取5x1向量。F不是已经在Matlab中实现的cdf（例如normal、t-student等）。具体而言，它被定义为

我在这个论坛和其他论坛上读到了一些关于如何在Matlab中从自定义概率分布函数中采样的问题/答案。但是,

1） 大多数是单变量cdf，例如。这个想法是应用的。我的问题有点复杂，因为我需要“反转”一个5元函数

2） 另一个选择是按照建议使用，但我不知道如何在我的例子中写出概率密度函数的解析表达式

3） 这是另一个想法，但对于二元情况来说是特定的

您能帮我了解一下如何进行吗？

给出了解决方案的提示。它解释了当你有一个PDF时的双变量情况。在这里，我们将把它扩展到任意数量的维度，适用于有CDF的情况

因此，过程是：

计算r1的边际CDF

使用此边际CDF随机抽取一个样本（说明如何执行此操作）

计算给定r1的r2的边际CDF

使用此边际CDF随机抽取样本

计算给定r1和r2的r3的边际CDF

等等，等等，你看这是怎么回事

请注意，如果您有PDF，计算边际分布需要对剩余变量进行积分。所以r1的边际分布需要对r2..r5进行积分，给定r1的r2的边际分布需要对r3..r5进行积分，以此类推

当你有一个CDF时，计算边际分布是很简单的，因为它已经集成了PDF：r1的边际分布是F（x，∞,∞,∞,∞). 然而，获得给定一个或多个变量的边际分布需要区分：给定r1的r2边际分布需要沿r1区分，给定r1和r2的r3边际分布需要沿r1和r2区分，等等

可能通过解析方法获得这些导数（这将是更有效的解决方案）。这里我们使用有限差分导数近似（这使得插入任何CDF更容易）

让我们看一些MATLAB代码：

sigma_a = 0.5;
sigma_b = 0.3;
F = @(r1,r2,r3,r4,r5)exp(-exp(-r1) - (exp(-r2/sigma_a)+exp(-r3/sigma_a)).^sigma_a ...
                                   - (exp(-r4/sigma_b)+exp(-r5/sigma_b)).^sigma_b);

lims = [-5,10]; % This is the area along all dimensions containing 99.99% of the PDF

N = 1000;
values = zeros(N,5);
for n=1:N
   values(n,:) = sample_random(F,5,lims);
end

在这里，我为

sigma\u a

和

sigma\u b

挑选了一些随机值，并用它们定义了一个由5个变量组成的函数

F

。

r5

。我发现PDF的域在所有维度上都是相同的，我发现了一个比实际需要的稍大的区域（

lims

）接下来，我通过调用

sample\u random

，从分布

F

中获得1000个随机样本：

function r = sample_random(F,N,lims)
delta = diff(lims)/10000;
x = linspace(lims(1),lims(2),300);
r = inf(1,N);
for ii = 1:N
   marginal = get_marginal(F,r,ii,x,delta);
   p = rand * marginal(end);
   [~,I] = unique(marginal); % interp1 cannot handle duplicated points, let's remove them
   r(ii) = interp1(marginal(I),x(I),p);
end

delta

是我们将用于对导数进行有限差分近似的距离。

x

表示沿

F

任意一维的采样点

我们首先将

r

定义为向量

[inf，inf，inf，inf，inf，inf]

，我们将使用它作为示例位置，在函数末尾，它将包含从分布中提取的随机值

接下来，我们在5个维度上循环，在每次迭代中，我们对维度

ii

的边际分布进行采样，给定先前维度的值（已经选取）。函数

get_marginal

如下。我们选取一个介于0和该边际CDF最大值之间的随机值（注意，当我们为每个维度选取

r

值时，最大值减小，当

ii==1

最大值为1时），我们使用此随机值插值到反向采样的边际CDF中（反向简单地表示交换x和y）.我需要从

marginal

中删除重复值，因为它成为

interp1

中的

x

，并且此函数要求

x

值是唯一的

最后，函数

get_marginal

：

function marginal = get_marginal(F,r,ii,x,delta)
N = length(r);
marginal = zeros(size(x));
for jj=0:2^(ii-1)-1
   rr = flip(dec2bin(jj,N)-'0');
   sign = mod(sum(rr,2),2);
   if sign == 0
      sign = 1;
   else
      sign = -1;
   end
   args = num2cell(r - delta * rr);
   args{ii} = x;
   marginal = marginal + sign * F(args{:});
end

这包含了相当多的复杂性。它沿着给定的维度

ii

，在点

x

，给定固定值

r（1:ii-1）

，对CDF进行采样

计算偏导数带来了复杂性。如果我们要计算任意一维的边际分布，而没有选择任何固定的值，我们只需这样做

marginal = F(inf,x,inf,inf,inf);

选择了一个值后，我们会这样做

marginal = F(r1,x,inf,inf,inf) - F(r1-delta,x,inf,inf,inf);

（这是沿第一维偏导数的近似值）

get\u marginal

中的代码对

ii-1

固定值执行此操作。这需要对每个固定值以及每个

delta

移位组合进行两次

F

采样，总共采样次数为

n^2

次（对于

n

固定值）

dec2bin

位用于获取所有这些组合。

符号

确定是否从运行总数中添加或减去给定样本。

args

是一个单元格数组，函数有5个参数

F

，元素

1:ii-1

为固定值，元素

ii

设置为

x

，元素

ii+1:N

是

inf

---

最后，我绘制了数据集

值的边际分布（其中包含从CDF中随机抽取的1000个元素），并与CDF的边际分布进行叠加，以验证所有值是否正确：

lims = [-2,5];
x = linspace(lims(1),lims(2),300);
figure
for ii=1:5
   subplot(5,1,ii)
   histogram(values(:,ii),'normalization','cdf','BinLimits',lims)
   hold on
   args = num2cell(inf(1,5));
   args{ii} = x;
   plot(x,F(args{:}))
   text(5.2,0.5,['r_',num2str(ii)])
end

我不确定我是否理解你的问题，你说你有一个CDF，它是F（r，sigma\u a，sigma\u b），那么你想从这个函数中随机采样！那么你的问题是如何生成一个随机的5x1向量r并将其提交给F？或者你的问题是如何将这个CDF转换为一个合适的PDF，以用于自定义值r？@user3285148：我发布的代码只对独立的proba是正确的