在MATLAB中求解非线性方程组

我遇到了一个必须求解的非线性方程组。 方程组可以写成：

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Ax+exp（x）=b

和

b

已知的

Nx1

矩阵、

a

已知的

NxN

矩阵，以及

x

必须求解的未知

Nx1

向量。

exp

是在

x

向量上按元素定义的。我试图搜索MATLAB手册，但我很难找到如何用MATLAB解这类方程，所以我希望有人能帮助我。

我会从线性化系统的解开始迭代求解

[a+1]x（0）=b-1

作为初始猜测，其中1是单位矩阵。在迭代过程的每一步中，我都会在右边添加上一个解的指数：

Ax（j）=b-exp（x（j-1））

您可以使用牛顿-拉斐逊。将系统重新安排为零剩余：

R = A * x + exp(x) - b

然后取

R

相对于

x

的导数：

dRdx = A + diag(exp(x))

然后迭代。示例如下所示：

n = 3;

a = rand(n, n);
b = rand(n, 1);

% solve a * x + exp(x) = b for x

x = zeros(n, 1);

for itr = 1: 10
    x = x - (a + diag(exp(x))) \ (a * x + exp(x) - b);
end

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当然，你可以在残差足够小的时候停止迭代，这样做会更加智能。

我刚才看到这是一篇交叉文章

这是我的解决方案：

该函数可以用以下形式编写：

$$f\left（x\right）=A x+\exp\left（x\right）-b$$

一旦找到$f\left（x\right）$的根，它就相当于上述值。
可以使用它来查找根

$f\left（x\right）$的（类似于梯度的转置）由下式给出：

$$J\left（f\left（x\right）\right）=A+diag\left（\exp\left（x\right）\right）$$

因此，牛顿迭代由下式给出：

$${x}^{k+1}={x}{k}-{J\left（f\left（{x}^{k}\right）\right）}{-1}f\left（{x}{k}\right）$$

您可以在我的中看到代码，其中包括雅可比矩阵的解析和数值推导

这是一次运行的结果：

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请注意，当它找到这个问题的根时，有多个根，因此解决方案是众多解决方案之一，取决于初始点。

请解释，符号exp（x）是什么意思？指数作用于整个向量还是它的一些元素？啊，我的意思是，如果例如x=[1；2；3]，那么exp（x）=[exp（1）；exp（2）；exp（3）]。因此，它分别作用于每个元素。（与传统的矩阵指数定义不同：exp（a）=1+a+a^2/2+…，这不是我想在这里做的：））您可以使用MATLAB中提供的任何优化或曲线拟合函数吗？我在您最初的帖子中解决了这个问题。这是正确的想法，但我认为你在线性化的某个地方出错了。对于您最初的猜测，您如何计算

b-1

？如果

1

是单位矩阵，这就没有意义了。泰勒级数中指数的展开计算

x

的增量

Dx

，然后执行

x=x+Dx

，如果

Dx

足够小，则停止。这避免了一些数值问题，停止准则是仿射不变的。但是，与其编写我们自己奇特的NR实现，不如使用MATLAB的

fsolve

和一个返回残差和雅可比矩阵的函数。不完全是。如果你真的想要Newton Raphson，那么你必须自己实现它，因为

fsolve

使用优化技术，这意味着它解决了类似

|F（x）^2->min

的问题，而不是

F（x）=0

。但若你们只需要解一次方程，那个么你们可能应该使用

fsolve

，是的。