用MATLAB编写一个实现Newton'；二维s方法

我正在尝试编写一个在二维中实现牛顿方法的函数，当我这样做的时候，我现在必须调整我的脚本，使我的函数的输入参数必须是列向量中的f（x），雅可比矩阵

f（x）

，初始猜测

x0

，以及函数

f（x）的公差

及其雅可比矩阵在单独的.m文件中

作为我编写的实现牛顿方法的脚本示例，我有：

n=0;            %initialize iteration counter     
eps=1;          %initialize error     
x=[1;1];        %set starting value

%Computation loop     
while eps>1e-10&n<100 
    g=[x(1)^2+x(2)^3-1;x(1)^4-x(2)^4+x(1)*x(2)];         %g(x)      
    eps=abs(g(1))+abs(g(2));                             %error     
    Jg=[2*x(1),3*x(2)^2;4*x(1)^3+x(2),-4*x(2)^3+x(1)];   %Jacobian     
    y=x-Jg\g;                                            %iterate     
    x=y;                                                 %update x     
    n=n+1;                                               %counter+1     
end 

n,x,eps       %display end values

n=0；%初始化迭代计数器
每股收益=1；%初始化错误
x=[1；1]；%设定起始值
%计算循环
eps>1e-10&n如果您不介意的话，我想重新构造您的代码，使其更具动态性，更易于阅读

让我们从一些预备工作开始。如果您想让脚本真正动态，那么我建议您使用符号数学工具箱。这样，您可以使用MATLAB为您处理函数的导数。首先需要使用
syms
命令，然后是所需的任何变量。这告诉MATLAB，您现在将把这个变量视为“符号”（即不是常数）。让我们从一些基本知识开始：

syms x;
y = 2*x^2 + 6*x + 3;
dy = diff(y); % Derivative with respect to x.  Should give 4*x + 6;
out = subs(y, 3); % The subs command will substitute all x's in y with the value 3
                  % This should give 2*(3^2) + 6*3 + 3 = 39

因为这是2D，我们需要2D函数。。。因此，让我们将
x
和
y
定义为变量。调用
subs
命令的方式略有不同：

syms x, y; % Two variables now
z = 2*x*y^2 + 6*y + x;
dzx = diff(z, 'x'); % Differentiate with respect to x - Should give 2*y^2 + 1
dzy = diff(z, 'y'); % Differentiate with respect to y - Should give 4*x*y + 6
out = subs(z, {x, y}, [2, 3]); % For z, with variables x,y, substitute x = 2, y = 3
                               % Should give 56

还有一件事。。。我们可以将方程放入向量或矩阵中，并使用
subs
将
x
和
y
的所有值同时替换到每个方程中

syms x, y;
z1 = 3*x + 6*y + 3;
z2 = 3*y + 4*y + 4;
f = [z1; z2];
out = subs(f, {x,y}, [2, 3]); % Produces a 2 x 1 vector with [27; 25]

我们可以对矩阵做同样的事情，但为了简单起见，我不会告诉你怎么做。我会遵从代码，到时候你就能看到了

现在我们已经确定了这一点，让我们一次只处理一部分代码，以真正实现动态。您的函数需要初始猜测
x0
，函数
f（x）
作为列向量，雅可比矩阵作为2 x 2矩阵，公差
tol

在运行脚本之前，需要生成参数：

syms x y; % Make x,y symbolic
f1 = x^2 + y^3 - 1; % Make your two equations (from your example)
f2 = x^4 - y^4 + x*y;
f = [f1; f2]; % f(x) vector

% Jacobian matrix
J = [diff(f1, 'x') diff(f1, 'y'); diff(f2, 'x') diff(f2, 'y')];

% Initial vector
x0 = [1; 1];

% Tolerance:
tol = 1e-10;

现在，将脚本制作成函数：

% To run in MATLAB, do: 
% [n, xout, tol] = Jacobian2D(f, J, x0, tol);
% disp('n = '); disp(n); disp('x = '); disp(xout); disp('tol = '); disp(tol);

function [n, xout, tol] = Jacobian2D(f, J, x0, tol)

% Just to be sure...
syms x, y;

% Initialize error
ep = 1; % Note: eps is a reserved keyword in MATLAB

% Initialize counter
n = 0;

% For the beginning of the loop
% Must transpose into a row vector as this is required by subs
xout = x0';

% Computation loop     
while ep > tol && n < 100 
   g = subs(f, {x,y}, xout);   %g(x)
   ep = abs(g(1)) + abs(g(2)); %error     
   Jg = subs(J, {x,y}, xout);  %Jacobian  
   yout = xout - Jg\g;         %iterate     
   xout = yout;                %update x     
   n = n + 1;                  %counter+1     
end

% Transpose and convert back to number representation
xout = double(xout');

%要在MATLAB中运行，请执行以下操作：
%[n，xout，tol]=Jacobian2D（f，J，x0，tol）；
%disp（'n='）；disp（n）；disp（'x='）；disp（xout）；disp（'tol='）；disp（tol）；
函数[n，xout，tol]=Jacobian2D（f，J，x0，tol）
%只是想确定一下。。。
符号x，y；
%初始化错误
ep=1；%注：eps是MATLAB中的保留关键字
%初始化计数器
n=0；
%对于循环的开始
%必须转换为行向量，因为SUB需要这样做
xout=x0'；
%计算循环
而ep>tol&n<100
g=subs（f，{x，y}，xout）；%g（x）
ep=abs（g（1））+abs（g（2））；%错误
Jg=subs（J，{x，y}，xout）；%雅可比
yout=xout-Jg\g；%迭代
xout=yout；%更新x
n=n+1；%计数器+1
结束
%转置并转换回数字表示法
xout=double（xout'）；

我可能应该告诉您，当您使用符号数学工具箱进行计算时，计算数字时，数字的数据类型是一个
sym
对象。您可能希望将这些值转换回实数，因此可以使用
double
将它们转换回实数。但是，如果您将它们保留为
sym
格式，它会将您的数字显示为整洁的分数（如果您正在查找的话）。如果需要小数点表示法，请强制转换为双精度

现在，当您运行此函数时，它应该会提供您所需的内容。我还没有测试过这段代码，但我很确定这会起作用

很高兴回答您可能还有的任何问题。希望这有帮助

干杯
 它看起来很棒，但是我不理解这行代码。难道没有更简单的命令来计算雅可比矩阵吗？我有一个n维的推广…@bela83有一个雅可比函数，但我做了你在
J
行中看到的，以明确显示计算结果。-顺便说一句，如果你觉得这个答案很有用，你可以随时更新我的答案：D.这些文件需要不同的“.m”文件吗？还是要组合成一个脚本？在我的R2015a版本中，我似乎没有符号工具箱。因此，我无法使此示例正常工作。@tannman357 1）是单独的文件。2） 如果您已经知道导数是什么，您可以自己创建雅可比矩阵，而不必使用符号工具箱。我稍后会修改这篇文章来解释这一点，但我目前无法解释。