Matlab：可变步长ODE解算器中的if语句和abs（）函数

我在线阅读了这篇文章，其中有人提到使用“if语句”和“abs（）”函数可能会对MATLAB的变步长ODE解算器（如ODE45）产生负面影响。根据OP，它会显著影响时间步长（要求时间步长太低），并在微分方程最终积分时给出较差的结果。我想知道这是不是真的，如果是，为什么。此外，如何在不使用固定步骤解决方案的情况下缓解此问题。关于我的意思，我在下面给出了一个示例代码：

function [Z,Y] = sauters(We,Re,rhos,nu_G,Uinj,Dinj,theta,ts,SMDs0,Uzs0,...
Uts0,Vzs0,zspan,K)

Y0 = [SMDs0;Uzs0;Uts0;Vzs0]; %Initial Conditions
options = odeset('RelTol',1e-7,'AbsTol',1e-7); %Tolerance Levels
[Z,Y] = ode45(@func,zspan,Y0,options);

function DY = func(z,y)

    DY = zeros(4,1);

    %Calculate Local Droplet Reynolds Numbers
    Rez = y(1)*abs(y(2)-y(4))*Dinj*Uinj/nu_G;
    Ret = y(1)*abs(y(3))*Dinj*Uinj/nu_G;

    %Calculate Droplet Drag Coefficient
    Cdz = dragcof(Rez);
    Cdt = dragcof(Ret);

    %Calculate Total Relative Velocity and Droplet Reynolds Number
    Utot = sqrt((y(2)-y(4))^2 + y(3)^2);
    Red = y(1)*abs(Utot)*Dinj*Uinj/nu_G;

    %Calculate Derivatives
    %SMD
    if(Red > 1)
        DY(1) = -(We/8)*rhos*y(1)*(Utot*Utot/y(2))*(Cdz*(y(2)-y(4)) + ...
            Cdt*y(3)) + (We/6)*y(1)*y(1)*(y(2)*DY(2) + y(3)*DY(3)) + ...
            (We/Re)*K*(Red^0.5)*Utot*Utot/y(2);
    elseif(Red < 1)
        DY(1) = -(We/8)*rhos*y(1)*(Utot*Utot/y(2))*(Cdz*(y(2)-y(4)) + ...
        Cdt*y(3)) + (We/6)*y(1)*y(1)*(y(2)*DY(2) + y(3)*DY(3)) + ...
        (We/Re)*K*(Red)*Utot*Utot/y(2);
    end
    %Axial Droplet Velocity
    DY(2) = -(3/4)*rhos*(Cdz/y(1))*Utot*(1 - y(4)/y(2));
    %Tangential Droplet Velocity
    DY(3) = -(3/4)*rhos*(Cdt/y(1))*Utot*(y(3)/y(2));
    %Axial Gas Velocity
    DY(4) = (3/8)*((ts - ts^2)/(z^2))*(cos(theta)/(tan(theta)^2))*...
        (Cdz/y(1))*(Utot/y(4))*(1 - y(4)/y(2)) - y(4)/z;

end

end

function[Z，Y]=sauters（We，Re，rhos，nu_G，Uinj，Dinj，theta，ts，SMDs0，Uzs0，。。。
Uts0、Vzs0、zspan、K）
Y0=[SMDs0；Uzs0；Uts0；Vzs0]；%初始条件
选项=odeset（'RelTol'，1e-7，'ABSTROL'，1e-7）；%容忍水平
[Z，Y]=ode45（@func，zspan，Y0，options）；
函数DY=func（z，y）
DY=零（4,1）；
%计算局部液滴雷诺数
Rez=y（1）*abs（y（2）-y（4））*Dinj*Uinj/nu\G；
Ret=y（1）*abs（y（3））*Dinj*Uinj/nu\G；
%计算液滴阻力系数
Cdz=牵引力（Rez）；
Cdt=牵引力（Ret）；
%计算总相对速度和液滴雷诺数
Utot=sqrt（（y（2）-y（4））^2+y（3）^2）；
红色=y（1）*abs（自动变速箱）*Dinj*Uinj/nu\G；
%计算导数
%贴片
如果（红色>1）
DY（1）=-（We/8）*rhos*y（1）*（Utot*Utot/y（2））*（Cdz*（y（2）-y（4））+。。。
Cdt*y（3））+（We/6）*y（1）*y（1）*（y（2）*DY（2）+y（3）*DY（3））+。。。
（We/Re）*K*（红色^0.5）*Utot*Utot/y（2）；
elseif（红色<1）
DY（1）=-（We/8）*rhos*y（1）*（Utot*Utot/y（2））*（Cdz*（y（2）-y（4））+。。。
Cdt*y（3））+（We/6）*y（1）*y（1）*（y（2）*DY（2）+y（3）*DY（3））+。。。
（We/Re）*K*（红色）*Utot*Utot/y（2）；
结束
%轴向液滴速度
DY（2）=-（3/4）*rhos*（Cdz/y（1））*Utot*（1-y（4）/y（2））；
%切向液滴速度
DY（3）=-（3/4）*rhos*（Cdt/y（1））*Utot*（y（3）/y（2））；
%轴向气速
DY（4）=（3/8）*（（ts-ts^2）/（z^2））*（cos（θ）/（tan（θ）^2））*。。。
（Cdz/y（1））*（Utot/y（4））*（1-y（4）/y（2））-y（4）/z；
结束
结束

其中，函数“dragcof”由以下公式给出：

function Cd = dragcof(Re)    
if(Re <= 0.01)

    Cd = (0.1875) + (24.0/Re);

elseif(Re > 0.01 && Re <= 260.0)

    Cd = (24.0/Re)*(1.0 + 0.1315*Re^(0.32 - 0.05*log10(Re)));

else

    Cd = (24.0/Re)*(1.0 + 0.1935*Re^0.6305);
end
end

函数Cd=dragcof（Re）
如果（Re 0.01&&Re是，则为真，这是因为您的解决方案在某些点上不够平滑

假设你想积分。
y'（t）=f（t，y）
。然后，在
f
中发生的事情会被积分成
y
。因此，如果在
f
的定义中


abs（）

如果
，那么
f
有一个跳跃，而
y
有一个扭结，没有更多的可微性

Matlab的ODE45假定您的解是5次可微的，并试图确保4阶精度。函数的非光滑点被误解为刚度，从而导致步长变小，甚至出现故障

你能做的：由于缺乏平滑度，你无论如何都不能期望高精度。因此，ODE23可能是一个更好的选择。在最坏的情况下，你必须坚持一阶格式。
这是因为使用
if
-语句、模运算（
abs（）
）计算的导数，或单位阶跃函数、dirac delta等会在解或其导数的值中引入不连续性，从而导致扭结、跳跃、拐点等

这意味着ODE的解决方案在相关时间的行为发生了完全的变化


检测这个
认识到他们将无法直接使用“问题点”以外的信息
减少步骤，从顶部重复，直到问题点满足精度要求

因此，在问题点附近将有许多失败的步骤和步骤大小的减少，对总体集成时间产生负面影响

然而，可变步长积分器将继续产生良好的结果。恒定步长积分器不是解决这类问题的好方法，因为它们首先无法检测此类问题（没有误差估计）

你所能做的只是将问题分成多个部分。如果你事先知道变化将在什么时间点发生，你只需为每个时间间隔启动一个新的积分，每次都使用上一次积分的输出作为下一次积分的初始值

如果您事先不知道问题将出现在哪里，您可以在Matlab的ODE解算器中使用这一非常好的功能，称为事件函数（请参阅）。您可以让Matlab的一个解算器检测事件（导数中的符号变化，If

-语句中的条件变化，或其他任何情况），并在检测到此类事件时终止集成。然后开始新的集成，从上一次开始，使用上一次集成的初始条件，如前所述，直到达到最终时间

---

这样，总体执行时间仍然会有轻微的损失，因为Matlab将尝试准确地检测事件的位置。但是，在执行时间和结果的准确性方面，它仍然比盲目地运行积分要好得多。

我不确定您的答案是否回答了我的问题。这是为什么特别是与可变时间步长解算器有关，而不是固定时间步长？此外，仅仅因为有if语句，并不意味着解决方案中存在跳跃。只要“if语句”下的变量在if语句之间具有收敛限制，解决方案中就不应存在跳跃。对于“abs（）”也是如此。是步长控制减小了步长。使用固定时间步长解算器，您只需运行这些非光滑点。但您观察到的是顺序的分解