Matrix 极大值对称矩阵的对角化

这里是我的问题，我有一个实对称矩阵M，它依赖于两个参数a，b（假设为正），我想找到一个正交矩阵p，使得PMP^{-1}是一个对角矩阵。下面是我所做工作的一个例子：

assume(a>0,b>0);
M : matrix([a,a+b,a+b],[a+b,a,a+b],[a+b,a+b,a]);
load("eigen");
[myeigval,myeigvec]:similaritytransform(ev(M,hermitianmatrix));

或者简单地说

assume(a>0,b>0);
M : matrix([a,a+b,a+b],[a+b,a,a+b],[a+b,a+b,a]);
load("eigen");
[myeigval,myeigvec]:similaritytransform(M);

我在这两个测试中得到了相同的结果：

[[[2*b+3*a,-b],[1,2]],[[[1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3)]],[[1/sqrt(2),0,-1/sqrt(2)],[0,1/sqrt(2),-1/sqrt(2)]]]]

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向量的范数等于1，但这个向量不给我一个正交矩阵。有人能给我解释一下问题出在哪里吗？

在调用

相似变换后，看看全局变量
rightmatrix
和
leftmatrix
。当我尝试你的例子时，我发现
rightmatrix。leftmatrix
是单位矩阵（leftmatrix.rightmatrix

也是）

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我同意

similaritytransform

的文档并不完全清楚。哦，好的。

谢谢你的回答。我同意我们得到rightmatrix.leftmatrix=恒等式，但rightmatrix不是leftmatrix的转置，这就是我想要的。你知道怎么做吗？@user37238好的，我现在明白这个问题了。当某个特征值的重数大于1时，

similaritytransform

返回的相应特征向量不一定是正交的。（这可能是

similaritytransform

中的一个错误）您可以应用

gramschmidt

函数来构造正交向量，尽管如果您想要正交，您必须在

gramschmidt

@user37238之后对它们进行规范化，我认为您特别想要做的是

gramschmidt（转置（右矩阵））

@user37238在看了一会儿之后，我认为如果启用了

hermitianmatrix

标志，那么

similaritytransform

应该确保

rightmatrix

是正交的（从那时起，有广告称

rightmatrix

的转置是它的逆）；如果该标志被禁用，

rightmatrix

不必是正交的，只要它是可逆的。@user37238我认为您需要编写

ev（similaritytransform（M），hermitianmatrix=true）

，即调用

similaritytransform

，使用

hermitianmatrix

临时绑定到

true

。（一些由

ev

识别的标志仅通过命名标志就绑定到

true

；这些标志称为

evflag

。但是

hermitianmatrix

不是

evflag

）