Matrix 证明对称矩阵的所有对角元素是不同的

给定一个15*15的对称矩阵，每行包含1到15之间的所有数字，每列包含1到15之间的所有数字，如何证明所有对角线元素都是不同的？ 我试图证明，没有两个对角线元素是相同的，但无法得到任何坚实的东西。甚至试过5*5矩阵，但我想不出任何证据来证明它。

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任何帮助都将不胜感激

如果“证明”是指对特定矩阵进行证明，请参见下文。如果“证明”是指数学证明，那么，所有对角矩阵都是对称矩阵，并且对角矩阵不需要有唯一元素，因此并非所有对称矩阵在对角上都有唯一元素

测试特定矩阵的一种方法是创建一个包含所有对角元素的新数组，然后消除该数组中的重复项，并测试长度。另一种方法是将每个对角线元素与对角线上索引较高的元素进行比较。下面是后者，其中一些伪代码使用基于0的数组

unique = TRUE
for i = 0 to 14 {
  value = matrix[i][i]
  for j = i+1 to 14      // doesn't loop if i+1 > 14
    if (value == matrix[j][j])
      unique = FALSE
}

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补充：OP指出我错过了对每行和每列内容的限制！根据对称性的定义，由N个唯一值组成的所有对称NxN矩阵（每行和每列中没有重复值）必须具有仅由一个值组成的反对角线。如果N是奇数，则生成的矩阵中有一个元素是对角的和反对角的（当然，如果N是偶数，则没有元素是公共的）。考虑到这一点，您可以看到对角线值在每个位置都必须与反对角线不同，公共元素除外。再加上每行和每列都有N个值的要求，您将看到每行的对角线元素必须不同。这不是正式的，但我希望有帮助

这是对称拉丁方的问题。第一个观察结果（需要简短的证明）是数字1到15在非对角位置出现偶数次。由于15是奇数，这意味着每个数字必须在对角线位置至少出现一次。但是只有15个对角线位置，因此每个数字必须在对角线位置恰好出现一次。

我们可以假设给定的矩阵是m*m，我们应该用m个不同的数字填充矩阵：N1，N2。。。纳米

因为每个元素应该在每列/每行中显示一次，所以对于每个数字，它将在矩阵中显示n）次

因为它是对称的，所以每个数字将在对角线上方的上部显示x（偶数）次，或在对角线下方的下部显示x（偶数）次。这样，除对角线外，每个数字在矩阵中显示2*x（x为偶数）

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因此，如果给定的m是奇数，则每个数字应在对角线上再显示一次；如果给定的是偶数，我们不要求每个数字都显示在对角线上，因为2*x已经是偶数。

谢谢弗雷德，尽管你写的不是我想要的。我在寻找一个数学证明，在给定的条件下（我在开篇文章中指定），对角线总是有不同的元素。我需要证明为什么对角线有不同的15个元素，从1到15。哇！是的，我忘记了关于代码的思考。我添加了一点，我认为这是一个正确的证明方向。