Matrix 大Oh、大Omega和θ中算法的计算复杂度

我试图解决以下关于计算复杂性的问题：

计算以下算法的计算复杂度，并 用大O，大ω和θ写下它的复杂性

for i=1 to m {
   x(i) =0;
   for j=1 to n {
      x(i) = x(i) + A(i,j) * b(j)
   }
}

其中A为mxn，b为nx1

我最终得到了大O

O（mn^2）

---

Big

Omega（1）

和

Theta（mn^2）

回想一下

f=Theta（g）

当且仅当

f=O（g）

和

f=Omega（g）

---

矩阵向量积可以用

Theta（mn）

时间（假设原始实现）和

O（m）

中的向量和来计算，因此总运行时间是

Theta（mn）

。从这里可以得出时间也是

O（mn）

和

Omega（mn）

假设以下语句以恒定时间运行：

    x(i) = x(i) + A(i,j) * b(j)

因此，这在O（1）中完成，并且不取决于

i

和

j

的值。由于您在内部

for

循环中对该语句进行了多次迭代，精确到

n

次，因此可以说以下代码在O（n）中运行：

（假设作业也是在固定时间内完成的）。同样，它不取决于

i

的确切值。最后，我们考虑了外部循环：

for i=1 to m {
   meth2
}

方法

meth2

被精确地重复

m

次，因此时间复杂度的上界为O（nm）

由于没有条件语句，也没有递归语句，并且数据A、b和x的结构不会改变程序的执行，因此该算法也是大ω（mn）和大θ（mn）

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当然，你可以高估big oh，低估big omega：对于每种算法，你可以说它是Ω（1），对于某些算法，它是O（2n），但关键是你不会用它买太多。

看看代码的结构，我会说O（mn）以及Omage（mn）和θ（mn）…是的，但omega（1）非常松散。每个算法都以ω（1）为单位运行。

for i=1 to m {
   meth2
}