Maxima 如何在泰勒级数中展开函数的组合？

我想在泰勒级数中展开一个类型为：

f（x+f（x））

的函数，在

f（a）=0的情况下，围绕
x=a

(%i1) atvalue(f(x),[x=a],0)$

直接演算得出：

(%i2) taylor(f(x+f(x)),x,a,2);

(%o2)/T/ f(a)+(at('diff(f(f(x)+x),x,1),x=a))*(x-a)+((at('diff(f(f(x)+x),x,2),x=a))*(x-a)^2)/2+...

如果我定义了一个中间函数：

(%i3)define(tf(x),taylor(f(x),x,a,2))$

然后在泰勒级数中展开，我得到：

(%i4) taylor(f(x+tf(x)),x,a,2);

(%o4) 0+...

我预期会有以下结果：
f（1+f'（a））f'（a）（x-a）+（x-a）^2f'（a）[f'（a）+（1+f'（a））^2/2]+o（x-a）^2

如何解决此问题？
您可以使用
gradef
简化表示法

gradef(f(x),  f1(x)) $
gradef(f1(x), f2(x)) $

atvalue(f(x), x = a,  0) $

e: f(x+f(x)) $
e: taylor(e, x, a, 2) $
e: expand(e, 0, 0)$ /* 'taylor' form to ordinar expression */
e: ev(e, nouns);    /* f(a) to 0 */

返回

          2                                          2
       (f1 (a) f2(a) + 3 f1(a) f2(a) + f2(a)) (x - a)
(%o7) -----------------------------------------------
                              2
                                                          2
                                                     + (f1 (a) + f1(a)) (x - a)

解决办法如下：



    gradef(f(x),  f1(x)) $
    gradef(f1(x), f2(x)) $
    atvalue(f(x), x = a,  0) $

    e: f(x+f(x)) $
    e: taylor(e, x, a, 2) $
    e: expand(e, 0, 0)$ /* 'taylor' form to ordinar expression*/
    e: ev(e, nouns);    /* f(a) to 0 */
    taylor(e,x,a,2); /* Becomes again a taylor serie which could be reused*/


例如，若我想找到定义的顺序，对于函数f，它是C^2，f（a）=0，f'（a）=0，通过：



    Sf(x)=x-f(x)^2/(f(x+f(x)-f(x))


如果我围绕a直接展开此函数，我得到：


Sf(x)=a+(x-a)-(f1(a)^2*(x-a)^2)/f(a)+...


因为f（a）=0，所以会发散

因此，这必须分两步进行。首先，我展开分母：



    Sf:x-f(x)^2/(t)$/*Introducing the taylor serie of den*/
    taylor(Sf,x,a,2);


然后我展开函数Sf：



    Sf(x)=a+((f1(a)+1)*f2(a)*(x-a)^2)/(2*f1(a))+...


它提供了想要的结果：

好的，这件事很清楚！然而，在泰勒展开式中，是否可以计算简化f（a）=0？例如，如果我想在泰勒级数中展开函数1/f（x+f（x）），它可能会很有用


    Sf(x)=a+((f1(a)+1)*f2(a)*(x-a)^2)/(2*f1(a))+...