Memory 如何找到给定特征值1的特征向量，最大限度地减少内存使用

如果人们能帮助我找到一种有效的方法（可能是低内存算法）来解决以下问题，我将不胜感激

我需要找到转移矩阵

p

的平稳分布

x

。转移矩阵是一个非常大、非常稀疏的矩阵，其构造使得所有列的总和为1。由于平稳分布由方程

Px=x

给出，因此

x

只是与特征值1相关的

P

的特征向量

我目前正在使用GNU倍频程来生成转换矩阵，找到平稳分布，并绘制结果。我正在使用函数

eigs（）

，它同时计算特征值和特征向量，并且可以只返回一个特征向量，其中特征值为1（实际上我必须指定1.1，以防止出现错误）。转换矩阵的构造（使用稀疏矩阵）相当快，但随着大小的增加，查找特征向量的速度变得越来越慢，而且在检查中等大小的问题之前，我的内存已经用完了

我现在的代码是

[v l] = eigs(P, 1, 1.01);
x = v / sum(v);

假设我知道1是特征值，我想知道是否有更好的方法来计算特征向量，或者有一种更有效地利用内存的方法，假设我真的不需要中间大的密集矩阵。我天真地尝试了

n = size(P,1);       % number of states
Q = P - speye(n,n);
x = Q\zeros(n,1);    % solve (P-I)x = 0

它失败了，因为Q是单数的（根据定义）

如果有人对我应该如何处理这个问题有任何想法，我将不胜感激，因为这是一个我必须执行多次的计算，如果可能的话，我想在更大、更复杂的模型上进行尝试

---

作为这个问题的背景，我正在求解随机SIR模型中牛群中传染病数量的均衡分布。不幸的是，即使是中等规模的畜群，转移矩阵也非常大。例如：在平均有20个个体的SIR模型中（95%的时间群体在12到28个个体之间），

P

是21169乘21169，具有20340个非零值（即密度为0.0005%），并使用321KB（该大小的完整矩阵为3.3GB），而对于大约50个个体

P

则使用3MB

x

本身应该非常小。我怀疑

eigs（）

的某个地方有一个密集的矩阵，这会导致我的内存不足，所以如果我可以避免使用完整的矩阵，我应该没问题。

幂迭代是找到矩阵主特征值的标准方法。你选择一个随机向量

v

，然后用

P

反复点击它，直到你不再看到它有很大的变化。您希望定期将v除以

sqrt（v^tv）

以使其正常化

这里的收敛速度与最大特征值和第二大特征值之间的间隔成正比。每次迭代只需要几次矩阵乘法

---

有一些更奇特的方法（“PageRank”是这里搜索的一件好事）可以提高巨大稀疏矩阵的速度，但我不知道它们在这里是必要的或有用的。

幂迭代是找到矩阵主特征值的标准方法。你选择一个随机向量

v

，然后用

P

反复点击它，直到你不再看到它有很大的变化。您希望定期将v除以

sqrt（v^tv）

以使其正常化

这里的收敛速度与最大特征值和第二大特征值之间的间隔成正比。每次迭代只需要几次矩阵乘法

---

有一些更为奇特的方法（“PageRank”是这里搜索的一个好方法）可以提高巨大稀疏矩阵的速度，但我不知道它们在这里是必要的还是有用的。

您的方法似乎不错。但是，您所调用的

x

，是Q的null空间。如果null（Q）支持稀疏矩阵，则它可以工作，但它不支持。网络上有很多东西可以用来寻找稀疏矩阵的零空间。例如：

---

你的方法似乎不错。但是，您所调用的

x

，是Q的null空间。如果null（Q）支持稀疏矩阵，则它可以工作，但它不支持。网络上有很多东西可以用来寻找稀疏矩阵的零空间。例如：

---

似乎最好的解决方案是使用tmyklebu建议的幂迭代法

方法是迭代

x=Px；x/=和（x）

，直到

x

收敛。如果连续迭代之间的d1范数小于1e-5，我假设收敛，因为这似乎给出了很好的结果

---

收敛可能需要一段时间，因为最大的两个特征值相当接近（收敛所需的迭代次数可能会有很大差异，从200到2000不等，这取决于所使用的模型和总体规模，但最终会达到）。但是，内存需求很低，而且很容易实现。

似乎最好的解决方案是使用tmyklebu建议的幂迭代法

方法是迭代

x=Px；x/=和（x）

，直到

x

收敛。如果连续迭代之间的d1范数小于1e-5，我假设收敛，因为这似乎给出了很好的结果

---

收敛可能需要一段时间，因为最大的两个特征值相当接近（收敛所需的迭代次数可能会有很大差异，从200到2000不等，这取决于所使用的模型和总体规模，但最终会达到）。但是，内存要求很低，而且很容易实现。

谢谢，我现在正在尝试（忽略我之前的评论，我意识到即使我已经阅读过，它仍然可能有用）