Optimization 寻找最小距离

我需要在给定的圆（或曲线）上找到一个或多个使d0+d1最小的点？曲线的半径和中心分别为（0,0）和“r”，点A和B的坐标已知。假设A=（x1，y1）和B=（x1，-y1）以及r>sqrt（x1^2+y1^2）。C是圆的未知点，应使长度d0+d1最小 d0-圆上A到C之间的距离 d1-圆上B到C之间的距离

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点C沿圆移动。我需要在给定的圆（或曲线）上找到一个或多个使d0+d1最小的点？

如果直线AB与圆相交，则C是该交点（请注意，可以有两个交点，且两者的距离相等

d0+d1

）

如果AB不与圆相交，则C是圆上与直线AB上离圆心最近的点的假想线相交的点

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网上有很多关于如何在一条直线上找到离另一点最近的点，以及如何找到两条直线之间的交点的文章，这将解决第二种情况。对于第一种情况，您可以通过谷歌搜索“线-圆交点”

一般情况非常复杂，但特殊情况

A=（x1，y1）

和

B=（x1，-y1）

和

r>sqrt（x1^2+y1^2）

以原点为圆心的圆具有足够的对称性，至少在某些情况下可以获得解。我假设

A≠ B

，（相当于

y1≠ 0），否则这个问题对于一个圆来说是微不足道的

设
dist（p，Q）
为点
p
和
Q
之间的欧几里德距离。连接
A
和
B
的（闭合）直线段是点
P
的轨迹

dist(P,A) + dist(P,B) = dist(A,B)

对于
D>dist（A，B）
，具有

f(P) = dist(P,A) + dist(P,B) = D

是一个椭圆
E（D）
，其焦点是
A
和
B
。设
P
为圆上的一点，
D=f（P）


如果点
P
中与圆和椭圆
E（D）
的切线不重合，
P
既不是局限于圆的局部最小值，也不是局部最大值
如果切线重合，且圆的曲率大于
P
中
E（D）
的曲率，则
P
是仅限于圆的一个孤立的局部最大值
f
如果切线重合，且圆的曲率小于
P
中
E（D）
的曲率，则
P
是仅限于圆的一个孤立的局部最小值
f
如果切线重合且圆的曲率等于
P
中
E（D）
的曲率，则

P
是一个孤立的
f
局部最小值，如果
dist（P，A）=dist（P，B）
，则限制在圆圈内
P
既不是
f的局部最大值，也不是局部最小值
仅限于圆圈


首先，如果
x1=0
，则很容易看出（在几何上不明显的情况下）最小化
f
的圆上的点是x坐标
0
的点，即
P1=（0，r）
和
P2=（0，-r）
。[如果
r²，这甚至是真的≤ x1²+y1²
]

现在，假设
x1≠ 0
，不丧失通用性
x1>0
。然后很明显，最小化
f
的圆上的点
P=（x，y）
必须具有
x>x1
。根据情况的对称性，点
R=（R，0）
必须是限制在圆内的局部最小值或局部最大值
f

计算
f
在
R
附近的行为，我们发现
R
是局部极小值当且仅当

r ≥ (x1² + y1²) / x1

由于
R
是
E（f（R））
的最小曲率点（
R
到
E（f（R））
的切线与圆重合），
R
也是全局最小曲率点

如果
r<（x1²+y1²）/x1
，则
r
是限制在圆圈内的
f
的局部最大值。然后，
f
在圆上有两个全局极小值，具有相同的x坐标。不幸的是，我没有一个好的公式来计算它们，所以我不能提供一个比迭代搜索更好的方法。
你能添加图片吗？你需要定义你的距离函数！第二部分一般不正确。如果连接
A
和
B
的线段完全位于圆外，则当且仅当圆的中心与
A
的距离与
B
的距离相等时，最靠近线段的点将使距离之和最小化。然而，在这个问题上，情况就是这样。但是线段完全位于圆内，这使得在这种情况下事情更加复杂。嗨，丹尼尔。谢谢你的解释。问题是如何开始迭代搜索，并将其作为一种算法。