Python 2.7 Parseval'；s定理不适用于正弦波的FFT+；噪音

提前感谢您在这个问题上的帮助。最近，我一直在尝试在包含噪声的情况下，解出离散傅里叶变换的Parseval定理。我的代码基于

我希望看到的是（当不包括噪声时），频域中的总功率是时域中总功率的一半，因为我已经切断了负频率

然而，随着更多噪声添加到时域信号中，信号+噪声的傅里叶变换的总功率远小于信号+噪声总功率的一半

我的代码如下：

import numpy as np
import numpy.fft as nf
import matplotlib.pyplot as plt

def findingdifference(randomvalues):  

    n               = int(1e7) #number of points
    tmax            = 40e-3 #measurement time
    f1              = 30e6 #beat frequency

    t               = np.linspace(-tmax,tmax,num=n) #define time axis
    dt              = t[1]-t[0] #time spacing

    gt              = np.sin(2*np.pi*f1*t)+randomvalues #make a sin + noise

    fftfreq         = nf.fftfreq(n,dt) #defining frequency (x) axis
    hkk             = nf.fft(gt) # fourier transform of sinusoid + noise
    hkn             = nf.fft(randomvalues) #fourier transform of just noise

    fftfreq         = fftfreq[fftfreq>0] #only taking positive frequencies
    hkk             = hkk[fftfreq>0]
    hkn             = hkn[fftfreq>0]

    timedomain_p    = sum(abs(gt)**2.0)*dt #parseval's theorem for time
    freqdomain_p    = sum(abs(hkk)**2.0)*dt/n # parseval's therom for frequency
    difference      = (timedomain_p-freqdomain_p)/timedomain_p*100 #percentage diff

    tdomain_pn   = sum(abs(randomvalues)**2.0)*dt #parseval's for time
    fdomain_pn   = sum(abs(hkn)**2.0)*dt/n # parseval's for frequency
    difference_n    = (tdomain_pn-fdomain_pn)/tdomain_pn*100 #percent diff

    return difference,difference_n

def definingvalues(max_amp,length):

    noise_amplitude     = np.linspace(0,max_amp,length) #defining noise amplitude
    difference          = np.zeros((2,len(noise_amplitude)))
    randomvals          = np.random.random(int(1e7)) #defining noise

    for i in range(len(noise_amplitude)):
        difference[:,i] = (findingdifference(noise_amplitude[i]*randomvals))

    return noise_amplitude,difference

def figure(max_amp,length):

    noise_amplitude,difference = definingvalues(max_amp,length)

    plt.figure()
    plt.plot(noise_amplitude,difference[0,:],color='red')
    plt.plot(noise_amplitude,difference[1,:],color='blue')
    plt.xlabel('Noise_Variable')
    plt.ylabel(r'Difference in $\%$')
    plt.show()

    return
figure(max_amp=3,length=21)

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我最后的图表是这样的。我做这件事的时候做错什么了吗？是否有物理原因导致这种趋势在增加噪音的情况下发生？这与对非完美正弦信号进行傅里叶变换有关吗？我这样做的原因是为了理解我有真实数据的非常嘈杂的正弦信号。

Parseval定理通常适用于使用整个频谱（正和负）频率来计算功率

产生差异的原因是DC（f=0）分量，该分量被视为有点特殊

首先，直流分量来自哪里？您可以使用

np.random.random

生成0到1之间的随机值。因此，平均来说，你将信号的振幅提高0.5倍，这需要很大的功率。该功率在时域中正确计算

然而，在频域中，只有一个对应于f=0的FFT单元。所有其他频率的功率分布在两个仓上，只有直流功率包含在一个仓中

通过缩放噪声，可以添加直流电源。通过去除负频率，可以去除一半的信号功率，但大部分噪声功率位于充分利用的直流分量中

您有几个选择：

使用所有频率计算功率

使用无直流分量的噪声：

randomvals=np.random.random（int（1e7））-0.5

通过移除一半直流电源来“修复”功率计算：

hkk[fftfreq==0]/=np.sqrt（2）

我会选择第一种。第二种可能还可以，我不推荐第三种

最后，代码有一个小问题：

fftfreq         = fftfreq[fftfreq>0] #only taking positive frequencies
hkk             = hkk[fftfreq>0]
hkn             = hkn[fftfreq>0]

这真的没有道理。最好换成

hkk             = hkk[fftfreq>=0]
hkn             = hkn[fftfreq>=0]

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或者完全移除选项1。

非常感谢！现在可以了。我尝试了第一个和第二个选项，它们都有效。