Python 2.7 笔迹学。如何处理这类问题？我想知道解决这个问题的逻辑和思考方式。

求笛卡尔平面上从（0，0）到（n，n）的路径数，该路径从不高于y=x线。可以沿路径进行三种类型的移动：

move up, i.e. from (i, j) to (i, j + 1);
move to the right, i.e. from (i, j) to (i + 1, j);
the right-up move, i.e. from (i, j) to (i + 1, j + 1)

路径计数101 首先，我们解决一个更简单的问题：

用以下公式求笛卡尔平面上从（0，0）到（n，n）的路径数：

• 向上移动，即从（i，j）移动到（i，j+1）
• 向右移动，即从（i，j）移动到（i+1，j）

我们可以进入x 如何解决？太难了？好的，我们首先尝试找到从（0，0）到（2，2）的路径数。我们可以在网格中绘制所有路径：

我们定义

f(x,y) => the number of paths from (0, 0) to (x, y)

您可以从（1，2）或（1，2）中看到（2，2）的路径，因此我们可以得到：

f(2, 2) = f(2, 1) + f(1, 2)

然后你们会注意到点（x，y），它从（x，y-1）或（x-1，y）开始的路径。这很自然，因为我们只有两种可能的行动：

• 向上移动，即从（i，j）移动到（i，j+1）
• 向右移动，即从（i，j）移动到（i+1，j）

我为您画了一个更大的例子，您可以检查我们的结论：

所以我们可以得到：

f(x, y) = f(x, y - 1) + f(x - 1, y)

等等。。。如果x=0或y=0怎么办？这很直接：

if x = 0 => f(x, y) = f(x, y - 1)
if y = 0 => f(x, y) = f(x - 1, y)

最后。。。那么f（0，0）呢？我们定义：

f(0, 0) = 1

因为从（0,0）到（1,0）和（0,1）只有一条路径

好，总结一下：

f(x, y) = f(x, y - 1) + f(x - 1, y)
if x = 0 => f(x, y) = f(x, y - 1)
if y = 0 => f(x, y) = f(x - 1, y)
f(0, 0) = 1

通过递归，我们可以解决这个问题

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你的问题 现在让我们讨论一下你的原始问题，只需稍微修改一下我们的方程：

f(x, y) = f(x, y - 1) + f(x - 1, y) + f(x - 1, y - 1)
if x = 0 => f(x, y) = f(x, y - 1)
if y = 0 => f(x, y) = f(x - 1, y)
if x < y => f(x, y) = 0
f(0, 0) = 1

f（x，y）=f（x，y-1）+f（x-1，y）+f（x-1，y-1）
如果x=0=>f（x，y）=f（x，y-1）
如果y=0=>f（x，y）=f（x-1，y）
如果xf（x，y）=0
f（0，0）=1

它将生成我的代码

我添加到代码中的最后一件事是。简而言之，记忆可以消除重复计算——如果我们已经计算了f（x，y），只需将其存储在字典中，再也不计算它。您可以阅读wiki页面以进一步了解

这就是我的全部代码。如果您还有一些问题，可以在这里留言，我会尽快回复

代码：

d={}#记忆化
def查找（x，y）：
如果x==0且y==0：
返回1
如果x0：
ret+=find（x-1，y）
如果y>0：
ret+=find（x，y-1）
如果x>0且y>0：
ret+=find（x-1，y-1）
d[（x，y）]=ret
回程网
打印查找（2，1）#4

对于解决这类问题的其他想法，有一种数学好奇心，它不仅与晶格行走产生的序列一一对应，其中一个人的步数必须保持在x=y线以下，而且与真正的过多一致，在解决问题和研究方面具有广泛适用性的数学怪兽

这些奇怪之处是什么？ :

C_n=1/（n+1）*（2n）选择（n），n>=0，其中如果n=0，C_0=1

它们还包括：

包含$n$对括号的表达式数

• 例n=3:（（）），（（）），（（）），（（）），（（）），（（）），（（）），（（））

具有n+1个顶点的平面树数

凸（n+2）-gon的三角剖分数

乘积的单项式：p（x1，…，xn）=x1（x1+x2）（x1+x2+x3）。。。（x1+…+xn）

有根平面树的二部顶点

还有更多的事情

这些对象出现在数学物理的许多活跃研究中，例如，由于数据集庞大，这是算法研究的一个活跃领域

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所以，你永远不会知道，在某个黑暗的数学深处，什么看似遥远的概念紧密地联系在一起

抱歉，这不是为你做作业的网站。我知道你有一个特别的问题，我们会尽力帮你解决，但如果你没有试图解决它，甚至没有真正的问题，就放弃你的家庭作业是不可取的。@bicker，这不是我的家庭作业问题。我无法处理此类问题。所以我想知道的是如何开始解决这些问题。我不想要答案。我想知道方法检查@Ante它不是加泰罗尼亚数字，因为它有

（x，y）=>（x+1，y+1）

@说它不是加泰罗尼亚数字，但加泰罗尼亚数字可以用来找到解决方案。选择对角线移动的位置将给出路径数作为和（二项式（n，i）*catalan（i），对于{0，…，n}中的i）。WolfranAlpha给出了这个。可以通过更改2F1中的第二个参数来计算。对于路径数为223191的州，你能教我如何处理这类问题，特别是在解决这类问题时如何思考吗。我不要密码。我想知道你的方法。@amruthvenkat好的。。。现在我正在工作，我会在几个小时后详细解释我的解决方案…@amruthvenkat，这样你就可以投票支持我的答案。如果对我的答案没有更多问题，你可以将我的答案设置为已接受。我已对你的答案进行了投票，但由于我的声誉不是15岁，所以不会在这里显示…@amruthvenkat好的。。。当你拥有至少15个声誉时，请不要忘记为我投票……：）

d = {}  # Memoization


def find(x, y):
    if x == 0 and y == 0:
        return 1
    if x < y:
        return 0
    if d.get((x, y)) is not None:
        return d.get((x, y))
    ret = 0
    if x > 0:
        ret += find(x - 1, y)
    if y > 0:
        ret += find(x, y - 1)
    if x > 0 and y > 0:
        ret += find(x - 1, y - 1)
    d[(x, y)] = ret
    return ret


print find(2, 1) # 4