Python中高斯函数的傅里叶变换

我想计算一些高斯函数的傅里叶变换。考虑简单的高斯G（t）＝E^ {-T^ 2 }。g（t）的傅里叶变换具有a，使得第0个频率是简单的根pi

如果我尝试在Python中执行相同的操作：

N = 1000
t = np.linspace(-1,1,N)
g = np.exp(-t**2)

h = np.fft.fft(g) #This is the Fourier transform of expression g

很简单。现在

h[0]

应该包含零频率项，我们从解析表达式中知道它是根pi。但是它却给出了

746.444

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为什么解析解和计算解之间存在差异？

不确定为什么你认为应该得到解析表达式。NUmPy中的DFFT显然是不对称的，若你们看Ak的公式，你们可以清楚地看到，对于A0，你们应该得到输入的总和。同样，从[-sigma…sigma]区间得到高斯分布是不正确的

下面是修改后的示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 4001
t = np.linspace(-4.0, 4.0, N)
print((t[0], t[2000], t[4000]))
g = np.exp(-t*t)
print(np.sum(g)) # sum of input

h = np.fft.fft(g, norm=None)
print(h[0]) # should be the same as sum of input

它会打印出来

(-4.0, 0.0, 4.0)
886.2269119018041
(886.226911901804+0j)

你可以做反变换并绘制它

q = np.fft.ifft(h, norm=None)

plt.plot(t, g, label = "Gauss")
plt.show()
plt.plot(t, np.abs(q), label = "dFFT Gauss")
plt.show()
f = np.fft.fftfreq(N)
plt.plot(f, np.angle(h), f, np.abs(h))
plt.show()

得到

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不知道为什么你认为你应该得到解析表达式。NUmPy中的DFFT显然是不对称的，若你们看Ak的公式，你们可以清楚地看到，对于A0，你们应该得到输入的总和。同样，从[-sigma…sigma]区间得到高斯分布是不正确的

下面是修改后的示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 4001
t = np.linspace(-4.0, 4.0, N)
print((t[0], t[2000], t[4000]))
g = np.exp(-t*t)
print(np.sum(g)) # sum of input

h = np.fft.fft(g, norm=None)
print(h[0]) # should be the same as sum of input

它会打印出来

(-4.0, 0.0, 4.0)
886.2269119018041
(886.226911901804+0j)

你可以做反变换并绘制它

q = np.fft.ifft(h, norm=None)

plt.plot(t, g, label = "Gauss")
plt.show()
plt.plot(t, np.abs(q), label = "dFFT Gauss")
plt.show()
f = np.fft.fftfreq(N)
plt.plot(f, np.angle(h), f, np.abs(h))
plt.show()

得到

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Hmmm好的，这是有帮助的，但我仍然感到困惑：这个链接实际上表明h（0）=根pi。我想你们已经稍微解释过了，“NUmPy中的DFFT显然是不对称的”，但我仍然不完全清楚为什么h（0）不等于根pi@user1887919嗯，这是NumPy使用的惯例。有些库具有多个前后缩放选项（如C中的likefftw3和C#中的mathdotnet），但在NumPy中，据我所见只有两个选项-无正向和1/N反向缩放（您和我使用的是norm=None）或1/sqrt（N）正向和反向缩放（“正交”选项）。这两个选项都不会产生sqrt（pi）。您可能可以将NumPy FFT封装到自己的例程中，这些例程可以进行适当的缩放。@user1887919您可以看一看，这是Matlab，但关于缩放的讨论非常好。嗯，这是很有帮助的-但我仍然感到困惑：链接实际上表明h（0）=根pi。我想你们已经稍微解释过了，“NUmPy中的DFFT显然是不对称的”，但我仍然不完全清楚为什么h（0）不等于根pi@user1887919嗯，这是NumPy使用的惯例。有些库具有多个前后缩放选项（如C中的likefftw3和C#中的mathdotnet），但在NumPy中，据我所见只有两个选项-无正向和1/N反向缩放（您和我使用的是norm=None）或1/sqrt（N）正向和反向缩放（“正交”选项）。这两个选项都不会产生sqrt（pi）。您可以将NumPy FFT封装到自己的例程中，这些例程可以进行适当的缩放。@user1887919您可以查看一下，它是Matlab，但是关于缩放的讨论非常好