Python Scipy和x27的性能问题；s解_-bvp与耦合微分方程

在Python 3.8.3中实现下面的耦合微分方程（也称为单模耦合方程）时，我遇到了一个问题。至于解算器，我正在使用Scipy的函数

Scipy.integrate.solve_bvp

，其文档可以阅读。我想求解复域中的方程，对于不同的传播轴值（

z

）和不同的β值（

beta_分析

）

问题在于，与使用函数

bvp4c

、

bvpnit

和

bvpset

在Matlab中的等效实现相比，它的速度非常慢（无法管理）。对两次执行的前几次迭代进行评估后，它们返回相同的结果，除了生成的网格（在Scipy情况下要大得多）。网格有时甚至饱和到最大值

要求解的方程以及边界条件函数如下所示

import h5py
import numpy as np
from scipy import integrate
    
def coupling_equation(z_mesh, a):
    ka_z = k    # Global
    z_a = z     # Global
    a_p = np.empty_like(a).astype(complex)

    for idx, z_i in enumerate(z_mesh): 
        beta_zf_i = np.interp(z_i, z_a, beta_zf)    # Get beta at the desired point of the mesh
        ka_z_i = np.interp(z_i, z_a, ka_z)          # Get ka at the desired point of the mesh

        coupling_matrix = np.empty((2, 2), complex)
        coupling_matrix[0] = [-1j * beta_zf_i, ka_z_i]
        coupling_matrix[1] = [ka_z_i, 1j * beta_zf_i]

        a_p[:, idx] = np.matmul(coupling_matrix, a[:, idx])    # Solve the coupling matrix

    return a_p

def boundary_conditions(a_a, a_b):
    return np.hstack(((a_a[0]-1), a_b[1]))

此外，考虑到

solve_bpv

函数的

fun

参数必须是可调用的，因此我无法找到将

k

、

z

和

beta_zf

作为函数

耦合方程

的参数传递的方法。我的方法是定义一些全局变量，但如果有更好的解决方案，我也将非常感谢在这方面的任何帮助

我试图编写的分析函数是：

def analysis(k, z, beta_analysis, max_mesh):
    s11_analysis = np.empty_like(beta_analysis, dtype=complex)
    s21_analysis = np.empty_like(beta_analysis, dtype=complex)
    
    initial_mesh = np.linspace(z[0], z[-1], 10)    # Initial mesh of 10 samples along L
    mesh = initial_mesh
    
    # a_init must be complex in order to solve the problem in a complex domain
    a_init = np.vstack((np.ones(np.size(initial_mesh)).astype(complex), 
                        np.zeros(np.size(initial_mesh)).astype(complex)))
    
    for idx, beta in enumerate(beta_analysis):
        print(f"Iteration {idx}: beta_analysis = {beta}")
        global beta_zf 
        beta_zf = beta * np.ones(len(z))    # Global variable so as to use it in coupling_equation(x, y)
        
        a = integrate.solve_bvp(fun=coupling_equation, 
                                bc=boundary_conditions, 
                                x=mesh, 
                                y=a_init, 
                                max_nodes=max_mesh,
                                verbose=1)
#         mesh = a.x      # Mesh for the next iteration
#         a_init = a.y    # Initial guess for the next iteration, corresponding to the current solution
        s11_analysis[idx] = a.y[1][0]
        s21_analysis[idx] = a.y[0][-1]
    return s11_analysis, s21_analysis

我怀疑问题与传递给不同迭代的初始猜测有关（请参见

分析
函数中循环内的注释行）。我尝试将迭代的解设置为以下内容的初始猜测（这必须减少解算器所需的时间），但它甚至更慢，我不理解这一点。也许我错过了什么，因为这是我第一次尝试解微分方程

用于执行的参数如下所示：

f2 = h5py.File(r'path/to/file', 'r')
k = np.array(f2['k']).squeeze()
z = np.array(f2['z']).squeeze()
f2.close()

analysis_points = 501
max_mesh = 1e6 

beta_0 = 3e2; 
beta_low = 0;       # Lower value of the frequency for the analysis
beta_up = beta_0;   # Upper value of the frequency for the analysis
beta_analysis = np.linspace(beta_low, beta_up, analysis_points);

s11_analysis, s21_analysis = analysis(k, z, beta_analysis, max_mesh)

关于如何提高这些功能的性能有什么想法吗？提前谢谢大家，如果问题没有很好地表述，我接受任何有关这方面的建议

编辑：添加了一些有关问题性能和大小的信息


在实践中，我找不到一个关系来决定调用耦合方程的次数。这必须是解算器的内部操作问题。我通过打印一行来检查一次迭代中的呼叫次数，它发生在133个地方（这是最快的一次）。这必须乘以beta的迭代次数。对于分析的一个，解算器返回以下内容：

在11次迭代中求解，节点数529。
最大相对残留量：9.99e-04
最大边界剩余：0.00e+00


a
和
z_网格
的形状是相关的，因为z_网格是一个向量，其长度与网格的大小相对应，解算器每次调用
耦合_方程时都会重新计算。假设
a
包含
z_网格
每个点处的渐进波和回归波的振幅，
a
的形状为
（2，len（z_网格））

就计算时间而言，我只用Python在大约2小时内完成了19次迭代。在这种情况下，初始迭代速度更快，但随着网格的增长，迭代开始需要更多的时间，直到网格饱和到允许的最大值为止。我认为这是因为该点的输入耦合系数的值，因为在
beta_分析
中没有执行循环时也会发生这种情况（只需使用
solve_bvp
函数来计算beta的中间值）。相反，Matlab设法在大约6分钟内返回整个问题的解决方案。如果我将上一次迭代的结果作为
initial\u guess
（在
analysis
函数中的注释行）传递，网格溢出速度会更快，并且不可能获得超过两次迭代的结果
基于半随机输入，我们可以看到有时会达到
max\u mesh
。这意味着
coupling\u方程
可以用相当大的
z\u mesh
和
a
数组调用。问题是
coupling\u方程
包含一个缓慢的纯Python循环在每个列上迭代使用Numpy矢量化可以大大加快计算速度。以下是一个实现：

def耦合方程快（z网格，a）：
ka_z=k#全局
z_a=z#全局
a_p=np.empty（a.shape，dtype=np.complex128）
beta_zf_i=np.interp（z_网格，z_a，beta_zf）#在网格的所需点获取beta
ka_z_i=np.interp（z_网格，z_a，ka_z）#在网格的所需点处获取ka
#快速手动矩阵乘法
a_p[0]=（-1j*beta_zf_i）*a[0]+ka_z_i*a[1]
a_p[1]=ka_z_i*a[0]+（1j*beta_zf_i）*a[1]
退

与原始实现相比，此代码提供了类似的半随机输入输出，但在我的机器上大约快了20倍

此外，我不知道您输入的
max\u mesh
是否碰巧也很大，即使这是正常的/有意的。降低
max\u mesh
的值以进一步减少执行时间可能是有意义的。
在实践中调用了多少次
耦合方程
z_网格
和
a
在
耦合_方程
中？整个计算需要多少时间？（请直接在问题中给出答案）@JérômeRichard谢谢你的快速评论！我编辑了这篇文章，以便添加你需要的信息。我希望这对你有所帮助