Python中使用Vandermonde矩阵的多变量（3D）插值

我似乎不知道如何将范德蒙矩阵应用到多元插值中。我能够得到实际的矩阵，但我不知道如何得到值（数组）c00，c01，c02。我知道c=V/z，但我觉得我遗漏了什么（也许不是除法？）。我也知道我需要建立一个方程组（V的列是每个cij）

如何在python中实现这一点

以下是我到目前为止的情况：

import numpy as np
x = [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3]
y = [1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3]
z = [3.2, 4.4, 6.5, 2.5, 4.7, 5.8, 5.1, 3.6, 2.9]
numpy.polynomial.polynomial.polyvander2d(x, y, [2,2])
>>>array([[  1.,   1.,   1.,   1.,   1.,   1.,   1.,   1.,   1.],
   [  1.,   2.,   4.,   1.,   2.,   4.,   1.,   2.,   4.],
   [  1.,   3.,   9.,   1.,   3.,   9.,   1.,   3.,   9.],
   [  1.,   1.,   1.,   2.,   2.,   2.,   4.,   4.,   4.],
   [  1.,   2.,   4.,   2.,   4.,   8.,   4.,   8.,  16.],
   [  1.,   3.,   9.,   2.,   6.,  18.,   4.,  12.,  36.],
   [  1.,   1.,   1.,   3.,   3.,   3.,   9.,   9.,   9.],
   [  1.,   2.,   4.,   3.,   6.,  12.,   9.,  18.,  36.],
   [  1.,   3.,   9.,   3.,   9.,  27.,   9.,  27.,  81.]])

np.dot（V，c.flat）

和

numpy.polynomy.polynomy.polyval2d（x，y，c）

我认为必须以某种方式将其纳入其中，但我不知道该怎么办。请帮忙！ 我应该输出：

c=V\z
c=
0.97500
-5.27500
5.95000
-3.92500
19.82500
-21.55000
3.40000
-14.70000
18.50000

以下是我获得此示例的网站（他们使用MatLab）：

---

希望这有帮助

给定位置x和y：

x = [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3]
y = [1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3]

和函数值z：

z = [3.2, 4.4, 6.5, 2.5, 4.7, 5.8, 5.1, 3.6, 2.9]

V将是Vandermonde矩阵：

V = numpy.polynomial.polynomial.polyvander2d(x, y, [2,2])

V = array([[  1.,   1.,   1.,   1.,   1.,   1.,   1.,   1.,   1.],
           [  1.,   2.,   4.,   1.,   2.,   4.,   1.,   2.,   4.],
           [  1.,   3.,   9.,   1.,   3.,   9.,   1.,   3.,   9.],
           [  1.,   1.,   1.,   2.,   2.,   2.,   4.,   4.,   4.],
           [  1.,   2.,   4.,   2.,   4.,   8.,   4.,   8.,  16.],
           [  1.,   3.,   9.,   2.,   6.,  18.,   4.,  12.,  36.],
           [  1.,   1.,   1.,   3.,   3.,   3.,   9.,   9.,   9.],
           [  1.,   2.,   4.,   3.,   6.,  12.,   9.,  18.,  36.],
           [  1.,   3.,   9.,   3.,   9.,  27.,   9.,  27.,  81.]])

每行：

a = x[i]
b = y[i]
V[i,:] = [ 1, b, b², a, a*b, a*b², a², a²b, a²b²]

线性插值旨在解决：

$$z=V\cdot c$$

因此，我们需要解决：

$$c=V^{-1}z$$

c = np.linalg.solve(V, z)

c现在保持系数的阶数与Vandermonde矩阵的阶数相同

您可以手动对其进行评估：

def poly_eval(x, y, z):
    return z[0] + z[1]*y + z[2]*np.power(y,2) + z[3]*x + z[4]*x*y + z[5]*x*np.power(y,2) + z[6]*np.power(x,2) + z[7]*np.power(x,2)*y + z[8]*np.power(x,2)*np.power(y,2)

或使用

np.polynomial.polynomial.polyval2d([1,2], [3,4], c)
Out[22]: array([-65.5, -88.4])