Python 用scipy solve_bvp求解一个边值问题（扩散反应方程）

我正在努力解决以下二阶边值问题：

y'' + 2/x*y' + k**2.0*F(y) = 0

y(x=1)=1,  y'(x=0)=0

F(y) = -y or F(y) = -y*exp(AB*(1-y)/(1+B(1-y))

不知何故，我未能正确设置边界条件。我通过以下方式定义了

F（y）=y的函数和边界条件：

def fun(x, y, p):
 k = p[0]
 return np.vstack((y[1], -2.0/x*y[1] + k**2.0*y[0]))

def bc(ya, yb, p):
     return np.array([ya[0], yb[0],ya[1]])

y[0,:] = 1
y[1,0] = 0
sol = solve_bvp(fun, bc, x, y, p=[40])

我应该得到的结果肯定是错误的，改变初始条件并不能使事情变得更好。我想我的问题是与x=0时的零梯度边界条件有什么关系。有人知道我做错了什么吗

编辑：
这里是MWE，当k=0.01时，该值应为常数1。但对于k=5，x=0时的值应约为0.06：

def fun(x, y, p):
     k = p[0]
     return np.vstack((y[1], -2.0/x*y[1] + k**2.0*y[0]))

def bc(ya, yb, p):
     return np.array([ya[0], yb[0]-1.0,yb[1]])

x = np.linspace(1e-3, 1, 100)
y = np.zeros((2, x.size))
y[0,:] = 1

from scipy.integrate import solve_bvp
sol = solve_bvp(fun, bc, x, y, p=[1000])
x_plot = np.linspace(0, 1, 100)
y_plot = sol.sol(x_plot)[0]
plt.figure()
plt.plot(x_plot, y_plot)

考虑这种情况
F（y）=y
。很容易看出，这种线性常微分方程的基本解是sin（k*x）/x和cos（kx/x）

。类似地，对于

F（y）=-y

我们得到

sinh（k*x）/x

和

cosh（k*x）/x

。这意味着大多数解在

x=0时具有奇点。对于标准ODE解算器来说，这种奇点几乎不可能立即处理。我们必须在奇点处帮助解算器，正常程序在离奇点一定距离处再次应用

你能做的就是在
x=0
处分析情况，然后稍微离开一点。
你可以通过差商的极限得到

y''(0) + 2*y''(0) + k^2*F(y(0)) = 0

可以计算二次泰勒多项式。因此，使用ODE解算器使用奇点延拓法解决
[a，1]
上的问题
y（x）=y（0）-k**2/6*F（y（0））*x**2
上的
[0，a]

将
y0=y（0）
作为参数，最容易建立
x=a
处的边界条件。然后是ODE和BC函数

def ode（x，y，y0）：返回[y[1]，-2*y[1]/x-k**2*F（y[0]）]
defbc（ya，yb，y0）：y2=-k**2*F（y0）/6；返回[ya[0]-y0-y2*a**2，ya[1]-2*y2*a，yb[0]-1]

在问题中讨论的案例中，这给出了

a=1e-2
def F（y）：返回-y
对于[0.01,5]中的k：
res=求解bvp（常微分方程，bc[a，1]，[1,1]，[0,0]]，p=[1]，tol=1e-5）
print（f'k={k}:{res.message}，y0={res.p[0]}，理论：{k/np.sinh（k）}'））
如果成功：
y0=res.p[0]
x=np.linspace（a，1,61）；
plt.plot（x，res.sol（x）[0]）
plt.绘图（[0]，[y0]，'o'，res.x，res.y[0]，'+'，ms=4）
plt.title（f'k={k}'）；plt.grid（）；plt.show（）

结果

k=0.01：算法收敛到所需精度，y0=0.999983335277726，理论值：0.999983335277757


k=5：算法收敛到所需精度，y0=0.06738256929427147，理论值：0.06738252915294544


考虑这种情况
F（y）=y
。很容易看出，这种线性常微分方程的基本解是sin（k*x）/x和cos（kx/x）

。类似地，对于

F（y）=-y

我们得到

sinh（k*x）/x

和

cosh（k*x）/x

。这意味着大多数解在

x=0时具有奇点。对于标准ODE解算器来说，这种奇点几乎不可能立即处理。我们必须在奇点处帮助解算器，正常程序在离奇点一定距离处再次应用

你能做的就是在
x=0
处分析情况，然后稍微离开一点。
你可以通过差商的极限得到

y''(0) + 2*y''(0) + k^2*F(y(0)) = 0

可以计算二次泰勒多项式。因此，使用ODE解算器使用奇点延拓法解决
[a，1]
上的问题
y（x）=y（0）-k**2/6*F（y（0））*x**2
上的
[0，a]

将
y0=y（0）
作为参数，最容易建立
x=a
处的边界条件。然后是ODE和BC函数

def ode（x，y，y0）：返回[y[1]，-2*y[1]/x-k**2*F（y[0]）]
defbc（ya，yb，y0）：y2=-k**2*F（y0）/6；返回[ya[0]-y0-y2*a**2，ya[1]-2*y2*a，yb[0]-1]

在问题中讨论的案例中，这给出了

a=1e-2
def F（y）：返回-y
对于[0.01,5]中的k：
res=求解bvp（常微分方程，bc[a，1]，[1,1]，[0,0]]，p=[1]，tol=1e-5）
print（f'k={k}:{res.message}，y0={res.p[0]}，理论：{k/np.sinh（k）}'））
如果成功：
y0=res.p[0]
x=np.linspace（a，1,61）；
plt.plot（x，res.sol（x）[0]）
plt.绘图（[0]，[y0]，'o'，res.x，res.y[0]，'+'，ms=4）
plt.title（f'k={k}'）；plt.grid（）；plt.show（）

结果

k=0.01：算法收敛到所需精度，y0=0.999983335277726，理论值：0.999983335277757


k=5：算法收敛到所需精度，y0=0.06738256929427147，理论值：0.06738252915294544


如果您提供了一个。上一个术语中的（暗示）符号将从公式变为代码，那么有人会更容易帮助您。哪个版本是正确的？如果代码变量是正确的，也就是说，
F（y）=-y
，那么实际上
k=5
会导致
y0=0.06743870030718753
。实际上，我是对的。我错过了上面等式中的负号。我想这也会影响你下面的答案。如果你提供了一个符号，别人会更容易帮助你。上一个术语中的（暗示）符号会从公式变为代码。哪个版本是正确的？如果代码变量是正确的，也就是说，
F（y）=-y
，那么实际上
k=5
会导致
y0=0.06743870030718753
。实际上，我是对的。我错过了上面等式中的负号。我想这也会影响你下面的答案。谢谢你卢茨的解释！它在
F（y）
为y或-y时工作良好。但是
F（y）=-y exp（ab（1-y）/（1+beta*（1-y））
存在一些问题，我得到了奇异的雅可比矩阵，或者对于
k的高值，我用完了网格点。我想是复杂形式的
F（y）
导致了这些问题。你对此有什么想法吗？我稍后会尝试增加网格点。你能给出一些k和A，B或alpha，beta的典型值吗？