Python 用递归计算大O符号

我试图理解大O符号最坏情况下的运行时。 但我还是不太明白

这是我最近写的一些代码：

def g(n):
    if n==0:
        return 1
    elif n==1:
        return 2
    else:
        n_div=n//2
        n_mod=n%2
        return g(n_div)*g(n_mod)

所以我希望我至少是对的：

def g(n):
    if n==0:
        return 1

以及：

都是O（1），所以是常数

但是

else

部分呢

是O（n）因为它取决于我选择的

n

---

有人能解释一下

其他部分的复杂程度吗？
您已经注意到，您可以将函数分为3种情况，并且已经确定前2种是O（1）。第三个部分稍微复杂一些，但您也可以将其分为两部分

递归显然发生在：

g(n//2)*g(n%2)

我们可以立即看到，
n%2
将计算为0或1，这将再次解决前两种情况之一，因此我们可以忽略这一点。留给我们的是
g（n//2）
。通过将其重写为打印循环并检查输出，您将注意到：

>>> n = 37
>>> while n > 1:
...     n //= 2
...     print(n)
...
18
9
4
2
1

正如您所看到的，每次项都会减少一半，在递归中也会发生同样的情况。这是对数

因此，此函数的最坏情况是O（logn）

通过查看，您可以进一步了解logn在Big-O表示法中的实际含义。
O表示法实际上并不适用于程序的一部分。它确实测量了随着输入大小的增加，运行时间增加的方式。在这种情况下，耗时部分是最终的else部分

您需要了解这对您的程序是如何起作用的。这里有一个简单的实证分析，应该对你有所帮助。如果我们对程序进行一些测试，以打印出对于给定输入，最终的
else
部分运行了多少次，我们就会得到这个结果

   n | times
-----+-----
   2 | 1
   4 | 2
   8 | 3
  16 | 4
  32 | 5
  64 | 6
 128 | 7
 256 | 8
 512 | 9
1024 | 10
2048 | 11
4096 | 12
8192 | 13

如果你画这个，你会看到这样的东西


您可以看到，随着输入大小的增加，调用的数量也会增加，但呈次线性。事实上，它是对数的，因为你的
n
在循环的每次迭代中减少50%。
有没有一个函数来计算二进制代码中的1？
   n | times
-----+-----
   2 | 1
   4 | 2
   8 | 3
  16 | 4
  32 | 5
  64 | 6
 128 | 7
 256 | 8
 512 | 9
1024 | 10
2048 | 11
4096 | 12
8192 | 13