耦合四微分方程组-Python

我得到了图中4个微分方程的耦合系统。我有4个函数（xG；yG；gamma；beta）及其导数。它们都是同一个自变量t的函数

我正试图用odeint解决这个问题。问题是，为了做到这一点，我想我需要用一种方式来表达系统，即每个二阶导数不依赖于其他二阶导数。这涉及到大量的数学知识，肯定会让我在某个地方出错（我试过！）

你知道我怎么能：

按原样解这个微分方程组

或者让python帮我分离二阶导数

我正在附加我的测试代码

谢谢

import numpy
import math
from numpy import loadtxt
from pylab import figure,  savefig
import matplotlib.pyplot as plt
# Use ODEINT to solve the differential equations defined by the vector field
from scipy.integrate import odeint



def vectorfield(w, t, p):
    """
    Defines the differential equations for the coupled system.

    Arguments:
        w :  vector of the state variables:
                  w = [Xg, Xg1 Yg, Yg1, Gamma, Gamma1, Beta, Beta1]
        t :  time
        p :  vector of the parameters:
                  p = [m, rAG, Ig,lcavo]
    """
#Xg is position ; Xg1 is the first derivative ; Xg2 is the second derivative (the same for the other functions)
        Xg, Xg1,  Yg, Yg1, Gamma, Gamma1, Beta, Beta1 = w
        Xg2=-(Ig*Gamma2*math.cos(Beta))/(rAG*m*(-math.cos(Gamma)*math.sin(Beta)+math.sin(Gamma)*math.cos(Beta)))
        Yg2=-(Ig*Gamma2*math.sin(Beta))/(rAG*m*(-math.cos(Gamma)*math.sin(Beta)+math.sin(Gamma)*math.cos(Beta)))-9.81
        Gamma2=((Beta2*lcavo*math.sin(Beta))+(Beta1**2*lcavo*math.cos(Beta))+(Xg2)-(Gamma1**2*rAG*math.cos(Gamma)))/(rAG*math.sin(Gamma))
        Beta2=((Yg2)+(Gamma2*rAG*math.cos(Gamma))-(Gamma1**2*rAG*math.sin(Gamma))+(Beta1**2*lcavo*math.sin(Beta)))/(lcavo*math.cos(Beta))
        m, rAG, Ig,lcavo, Xg2,  Yg2, Gamma2, Beta2 = p
    
    
    # Create f = (Xg', Xg1' Yg', Yg1', Gamma', Gamma1', Beta', Beta1'):
    f = [Xg1,
         Xg2,
         Yg1, 
         Yg2, 
         Gamma1, 
         Gamma2, 
         Beta1, 
         Beta2]
         
    return f

    


# Parameter values
m=2.722*10**4
rAG=2.622
Ig=3.582*10**5
lcavo=4
# Initial conditions
Xg = 0.0
Xg1 = 0
Yg = 0.0
Yg1 = 0.0
Gamma=-2.52
Gamma1=0
Beta=4.7
Beta1=0

# ODE solver parameters
abserr = 1.0e-8
relerr = 1.0e-6
stoptime = 5.0
numpoints = 250

#create the time values
t = [stoptime * float(i) / (numpoints - 1) for i in range(numpoints)]
Deltat=t[1]
# Pack up the parameters and initial conditions:
p = [m, rAG, Ig,lcavo, Xg2,  Yg2, Gamma2, Beta2]
w0 = [Xg, Xg1,  Yg, Yg1, Gamma, Gamma1, Beta, Beta1]

# Call the ODE solver.
wsol = odeint(vectorfield, w0, t, args=(p,),
              atol=abserr, rtol=relerr)

---

您需要将所有二阶导数重写为一阶导数，并一起求解8个ODE：

然后你们需要所有导数的初始条件，但看起来你们已经有了。 仅供参考，您的代码未运行（

第71行：名称错误：未定义名称“Xg2”），请检查它

此外，有关更多信息，请参阅

编辑#1:
在第一步，您需要解耦方程组。虽然您可以手动解决，但我不推荐，所以让我们使用
sympy
模块：

import sympy as sm
from sympy import symbols

# define symbols. I assume all the variables are real-valued, this helps the solver. If not, I believe the result will be the same, but just calculated slower
Ig, gamma, gamma1, gamma2, r, m, beta, beta1, beta2, xg2, yg2, g, l = symbols('I_g, gamma, gamma1, gamma2, r, m, beta, beta1, beta2, xg2, yg2, g, l', real = True)

# define left hand sides as expressions
# 2nd deriv of gamma
g2 = (beta2 * l * sm.sin(beta) + beta1**2 *l *sm.cos(beta) + xg2 - gamma1**2 *r * sm.cos(gamma))/(r*sm.sin(gamma))
# 2nd deriv of beta
b2 = (yg2 + gamma2 * r * sm.cos(gamma) - gamma1**2 *r * sm.sin(gamma) + beta1**2 *l *sm.sin(beta))/(l*sm.cos(beta))
# 2nd deriv of xg
x2 = -Ig*gamma2*sm.cos(beta)/(r*m*(-sm.sin(beta)*sm.cos(gamma) + sm.sin(gamma)*sm.cos(beta)))
# 2nd deriv of yg
y2 = -Ig*gamma2*sm.sin(beta)/(r*m*(-sm.sin(beta)*sm.cos(gamma) + sm.sin(gamma)*sm.cos(beta))) - g

# now let's solve the system of four equations to decouple second order derivs
# gamma2 - g2 means "gamma2 - g2 = 0" to the solver. The g2 contains gamma2 by definition
# one could define these equations the other way, but I prefer this form
result = sm.solve([gamma2-g2,beta2-b2,xg2-x2,yg2-y2],
                  # this line tells the solver what variables we want to solve to
                  [gamma2,beta2,xg2,yg2] )
# print the result
# note that it is long and ugly, but you can copy-paste it as python code
for res in result:
    print(res, result[res])

现在我们将所有二阶导数解耦。例如，
beta2
的表达式为

所以它（以及所有其他二阶导数）的形式是


请注意，不依赖于
xg
或
yg

让我们介绍两个新变量，
b
和
k
：

然后
变成

要解决的ODE的完整系统是


现在所有的常微分方程都依赖于四个变量，它们不是任何事物的导数。此外，由于
xg
和
yg
是退化的，因此也只有6个方程，而不是8个方程。但是，可以用与
gamma
和
beta
相同的方式重写这两个方程，以获得完整的8个方程组，并将其集成在一起。
您需要将所有二阶导数重写为一阶导数，并一起求解8个方程：


然后你们需要所有导数的初始条件，但看起来你们已经有了。
仅供参考，您的代码未运行（
第71行：名称错误：未定义名称“Xg2”），请检查它

此外，有关更多信息，请参阅

编辑#1:
在第一步，您需要解耦方程组。虽然您可以手动解决，但我不推荐，所以让我们使用
sympy
模块：

import sympy as sm
from sympy import symbols

# define symbols. I assume all the variables are real-valued, this helps the solver. If not, I believe the result will be the same, but just calculated slower
Ig, gamma, gamma1, gamma2, r, m, beta, beta1, beta2, xg2, yg2, g, l = symbols('I_g, gamma, gamma1, gamma2, r, m, beta, beta1, beta2, xg2, yg2, g, l', real = True)

# define left hand sides as expressions
# 2nd deriv of gamma
g2 = (beta2 * l * sm.sin(beta) + beta1**2 *l *sm.cos(beta) + xg2 - gamma1**2 *r * sm.cos(gamma))/(r*sm.sin(gamma))
# 2nd deriv of beta
b2 = (yg2 + gamma2 * r * sm.cos(gamma) - gamma1**2 *r * sm.sin(gamma) + beta1**2 *l *sm.sin(beta))/(l*sm.cos(beta))
# 2nd deriv of xg
x2 = -Ig*gamma2*sm.cos(beta)/(r*m*(-sm.sin(beta)*sm.cos(gamma) + sm.sin(gamma)*sm.cos(beta)))
# 2nd deriv of yg
y2 = -Ig*gamma2*sm.sin(beta)/(r*m*(-sm.sin(beta)*sm.cos(gamma) + sm.sin(gamma)*sm.cos(beta))) - g

# now let's solve the system of four equations to decouple second order derivs
# gamma2 - g2 means "gamma2 - g2 = 0" to the solver. The g2 contains gamma2 by definition
# one could define these equations the other way, but I prefer this form
result = sm.solve([gamma2-g2,beta2-b2,xg2-x2,yg2-y2],
                  # this line tells the solver what variables we want to solve to
                  [gamma2,beta2,xg2,yg2] )
# print the result
# note that it is long and ugly, but you can copy-paste it as python code
for res in result:
    print(res, result[res])

现在我们将所有二阶导数解耦。例如，
beta2
的表达式为

所以它（以及所有其他二阶导数）的形式是


请注意，不依赖于
xg
或
yg

让我们介绍两个新变量，
b
和
k
：

然后
变成

要解决的ODE的完整系统是


现在所有的常微分方程都依赖于四个变量，它们不是任何事物的导数。此外，由于
xg
和
yg
是退化的，因此也只有6个方程，而不是8个方程。但是，可以用与
gamma
和
beta
相同的方式重写这两个方程，以获得完整的8个方程组，并将其集成在一起。
感谢您的回复。然而，你写的第一个方程是psi的导数，等于g的导数的函数。我如何用python编写g的导数？在这种方法中不需要“导数函数”。你需要8个“简单”的功能。谢谢，你能给我提供更多的细节吗？在odeint中，我需要定义一个由定义良好的简单函数组成的函数。我如何定义一个函数是另一个的导数的函数？@Francesco，SciPy cookbook页面给出了一个将两个二阶方程组转换为四个一阶方程组的例子。看看这是否有用。谢谢沃伦。这正是我代码的基础所在。不幸的是，这个例子基于一个系统，在这个系统中，你可以很容易地得到二阶导数，作为常数的函数，或者时间的函数，或者它们的一阶导数。而在我的例子中，我不能很容易地得到一个二阶导数，作为常数、函数或一阶导数的函数：我总是在方程的两边都有一个二阶导数。在这种情况下如何处理？谢谢你的回复。然而，你写的第一个方程是psi的导数，等于g的导数的函数。我如何用python编写g的导数？在这种方法中不需要“导数函数”。你需要8个“简单”的功能。谢谢，你能给我提供更多的细节吗？在odeint中，我需要定义一个由定义良好的简单函数组成的函数。我如何定义一个函数是另一个的导数的函数？@Francesco，SciPy cookbook页面给出了一个将两个二阶方程组转换为四个一阶方程组的例子。看看这是否有用。谢谢沃伦。这正是我代码的基础所在。不幸的是，这个例子基于一个系统，在这个系统中，你可以很容易地得到二阶导数，作为常数的函数，或者时间的函数，或者它们的一阶导数。而在我的例子中，我不能很容易地得到一个二阶导数，作为常数、函数或一阶导数的函数：我总是在方程的两边都有一个二阶导数。在这种情况下如何处理？