Python Scipy非中心卡方随机变量

考虑

n

平方iid正态随机变量的和

S=sum（Z^2（mu，sig^2））

。根据S/sig^2具有自由度=

n

和非中心性参数=

n*mu^2

但是，比较通过平方正态和直接使用scipy.ncx2生成

N

非中心卡方随机变量来生成这些变量的

S

：

import numpy as np
from scipy.stats import ncx2, chi2
import matplotlib.pyplot as plt

n = 1000  # number of normals in sum
N_MC = 100000  # number of trials

mu = 0.05
sig = 0.3

### Generate sums of squared normals ###
Z = np.random.normal(loc=mu, scale=sig, size=(N_MC, n))
S = np.sum(Z**2, axis=1)

### Generate non-central chi2 RVs directly ###
dof = n
non_centrality = n*mu**2
NCX2 = sig**2 * ncx2.rvs(dof, non_centrality, size=N_MC)
# NCX2 = sig**2 * chi2.rvs(dof, size=N_MC)  # for mu = 0.0

### Plot histos ###
fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(S, bins=50, label='S')
ax.hist(NCX2, bins=50, label='NCX2', alpha=0.7)
ax.legend()
plt.show()

这将产生直方图

我相信数学是正确的；这种差异可能是

ncx2

实现中的错误吗？设置

mu=0

并使用

scipy.chi2

看起来更好：

---

问题出现在问题的第二句：“

S/sig^2

具有非中心卡方分布，自由度=

n

，非中心性参数=

n*mu^2

”，非中心性参数不正确。它应该是

n*（mu/sig）^2

非中心卡方分布的标准定义是，它是具有平均μ和标准偏差1的正态变量的平方和。您正在使用标准偏差的正态变量计算

S

。让我们把这个分布写成

N（mu，sig**2）

。利用正态分布的位置-尺度特性，我们得到了

N(mu, sig**2) = mu + sig*N(0, 1) = sig*(mu/sig + N(0,1)) = sig*N(mu/sig, 1)

因此，将

N（mu，sig**2）

的变量平方相加等于将

sig*N（mu/sig，1）

的平方相加。这给出了

sig**2

乘以具有非中心性

mu/sig

的非中心卡方变量

如果将计算

非中心性的行更改为

non_centrality = n*(mu/sig)**2

柱状图如您所期望的那样排列。
这似乎有帮助。你介意详细说明一下吗？我加了一些详细说明。