平流方程中四阶Runge-Kutta的python程序设计

我想用Python编程一个对流方程(∂u/∂t） +c(∂u/∂x） =0。时间应采用龙格库塔四阶离散。空间离散化是二阶有限差分。当我运行我的代码时，我得到一条转换成正弦波的直线。但我给出的初始条件是正弦波。为什么它以直线开始？我想让正弦波向前移动。你知道如何使正弦波向前移动吗？我感谢你的帮助。提前谢谢

虽然表面上你的计算步骤与RK4方法有关，但它们偏离了RK4方法和正确的空间离散化，更不用说了

应用ODE积分方法的传统方法是使用函数

导数（t，state，params）

，然后将其应用于计算Euler步长或RK4步长。在你的情况下是这样的

def衍生物（t、u、c、dx）：
du=np.零（len（u））；
p=c/（2*dx）；
du[0]=p*（u[1]-u[-1]）；
du[1:-1]=p*（u[2:-u[：-2]）；
du[-1]=p*（u[0]-u[-2]）；
返回du；

那你就可以了

X，dx=np.linspace（xmin，xmax，n+1，retstep=True）；
X=X[：-1]#删除最后一点，因为u（X=1，t）=u（X=0，t）
m=500#时间步数
T=tmin+np.arange（m+1）；
U=np.零（（m+1，n），dtype=float）
U[0]=U=初始_（X）；
对于范围内的k（m）：
t=t[k]；
k1=导数（t，u，c，dx）*dt；
k2=导数（t+0.5*dt，u+0.5*k1，c，dx）*dt；
k3=导数（t+0.5*dt，u+0.5*k2，c，dx）*dt；
k4=导数（t+dt，u+k3，c，dx）*dt；
U[k+1]=U=U+（k1+2*k2+2*k3+k4）/6；

这将使用时间步长中计算的

dt

作为主要变量，然后使用步长

dt

从

tmin

构造算术序列。其他方法也是可能的，但必须使

tmax

和时间步数兼容

至此为止的计算现在应该是成功的，并且可以在动画中使用。在我的理解中，你不会在每一帧中产生一个新的绘图，你只需要画一次图形，然后再改变线数据

#设置时间数据的动画
直线，=ax1.绘图（X，U[0]，颜色为青色）
ax1.grid（真）
ax1.set_ylim（[-2,2]）
ax1.set_xlim（[0,1]）
定义动画（i）：
line.set_ydata（U[i]）
回程线，

---

等等。

虽然表面上你的计算步骤与RK4方法有关，但它们偏离了RK4方法和正确的空间离散化，更不用说了

应用ODE积分方法的传统方法是使用函数

导数（t，state，params）

，然后将其应用于计算Euler步长或RK4步长。在你的情况下是这样的

def衍生物（t、u、c、dx）：
du=np.零（len（u））；
p=c/（2*dx）；
du[0]=p*（u[1]-u[-1]）；
du[1:-1]=p*（u[2:-u[：-2]）；
du[-1]=p*（u[0]-u[-2]）；
返回du；

那你就可以了

X，dx=np.linspace（xmin，xmax，n+1，retstep=True）；
X=X[：-1]#删除最后一点，因为u（X=1，t）=u（X=0，t）
m=500#时间步数
T=tmin+np.arange（m+1）；
U=np.零（（m+1，n），dtype=float）
U[0]=U=初始_（X）；
对于范围内的k（m）：
t=t[k]；
k1=导数（t，u，c，dx）*dt；
k2=导数（t+0.5*dt，u+0.5*k1，c，dx）*dt；
k3=导数（t+0.5*dt，u+0.5*k2，c，dx）*dt；
k4=导数（t+dt，u+k3，c，dx）*dt；
U[k+1]=U=U+（k1+2*k2+2*k3+k4）/6；

这将使用时间步长中计算的

dt

作为主要变量，然后使用步长

dt

从

tmin

构造算术序列。其他方法也是可能的，但必须使

tmax

和时间步数兼容

至此为止的计算现在应该是成功的，并且可以在动画中使用。在我的理解中，你不会在每一帧中产生一个新的绘图，你只需要画一次图形，然后再改变线数据

#设置时间数据的动画
直线，=ax1.绘图（X，U[0]，颜色为青色）
ax1.grid（真）
ax1.set_ylim（[-2,2]）
ax1.set_xlim（[0,1]）
定义动画（i）：
line.set_ydata（U[i]）
回程线，

---

等等。

首先，您需要使用较少的全局变量，尤其是

U

数组。作为参数传递更多。请注意，对于RK4，在非上次时间节点的Euler步长的状态下，需要进行3次导数求值。另外，

k

向量应该是导数函数的结果（此更改可能足以更正代码）。为了进一步简化代码，请考虑如何使用切片或卷积实现二阶导数。谢谢您的回答。在非上次时间节点的Euler步长的状态下进行3次导数求值到底是什么意思？你能澄清一下吗？稍后再读一遍，这与这里无关。您只是使用一种非常非常规的方法来获取阶段值。但是，之后的点仍然存在，函数

u

计算点/状态，而

k

向量应包含斜率/导数。我在k向量中包含导数函数。所以k值是用导数函数计算出来的。但我现在有很强的嗅觉。我编辑了我的代码。所以你可以看到它的新形式。你在用

（dx+deltax）

除法时做了一些非常奇怪的事情。通过它的使用，

deltax

应该是

deltat

，并且在任何时候它都不会被添加到

dx

。首先，您需要使用较少的全局变量，尤其是

U

数组。作为参数传递更多。请注意，对于RK4，在非上次时间节点的Euler步长的状态下，需要进行3次导数求值。另外，

k

向量应该是导数函数的结果（此更改可能足以更正代码）。为了进一步简化代码，请考虑如何使用切片或卷积实现二阶导数。谢谢您的回答。你到底是什么意思

%matplotlib notebook
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
from math import pi

# wave speed
c = 1
# spatial domain
xmin = 0
xmax = 1
#time domain
m=500; # num of time steps 
tmin=0
T = tmin + np.arange(m+1);
tmax=500

n = 50 # num of grid points

# x grid of n points
X, dx = np.linspace(xmin, xmax, n+1, retstep=True);
X = X[:-1] # remove last point, as u(x=1,t)=u(x=0,t)

# for CFL of 0.1
CFL = 0.3
dt = CFL*dx/c


# initial conditions
def initial_u(x):
    return np.sin(2*pi*x)

# each value of the U array contains the solution for all x values at each timestep
U = np.zeros((m+1,n),dtype=float)
U[0] = u = initial_u(X);




def derivatives(t,u,c,dx):
    uvals = [] # u values for this time step
    for j in range(len(X)):
        if j == 0: # left boundary
            uvals.append((-c/(2*dx))*(u[j+1]-u[n-1]))
        elif j == n-1: # right boundary
            uvals.append((-c/(2*dx))*(u[0]-u[j-1]))
        else:
            uvals.append((-c/(2*dx))*(u[j+1]-u[j-1]))
    return np.asarray(uvals)


# solve for 500 time steps
for k in range(m):
    t = T[k];
    k1 = derivatives(t,u,c,dx)*dt;
    k2 = derivatives(t+0.5*dt,u+0.5*k1,c,dx)*dt;
    k3 = derivatives(t+0.5*dt,u+0.5*k2,c,dx)*dt;
    k4 = derivatives(t+dt,u+k3,c,dx)*dt;
    U[k+1] = u = u + (k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

# plot solution
plt.style.use('dark_background')
fig = plt.figure()
ax1 = fig.add_subplot(1,1,1)

line, = ax1.plot(X,U[0],color='cyan')
ax1.grid(True)
ax1.set_ylim([-2,2])
ax1.set_xlim([0,1])
def animate(i):
    line.set_ydata(U[i])
    return line,