Python GMM-对数似然性为'；t单调的

昨天，我使用期望最大化算法实现了一个GMM（高斯混合模型）

正如您所记得的，它将一些uknown分布建模为高斯混合分布，我们需要了解其均值和方差，以及每个高斯分布的权重

这是代码背后的数学（没有那么复杂）

这是我的代码：

import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal
import matplotlib.pyplot as plt

#reference for this code is http://mccormickml.com/2014/08/04/gaussian-mixture-models-tutorial-and-matlab-code/

def expectation(data, means, covs, priors): #E-step. returns the updated probabilities
    m = data.shape[0]                       #gets the data, means covariances and priors of all clusters
    numOfClusters = priors.shape[0]

    probabilities = np.zeros((m, numOfClusters))
    for i in range(0, m):
        for j in range(0, numOfClusters):
            sum = 0
            for l in range(0, numOfClusters):
                sum += normalPDF(data[i, :], means[l], covs[l]) * priors[l, 0]
            probabilities[i, j] = normalPDF(data[i, :], means[j], covs[j]) * priors[j, 0] / sum

    return probabilities

def maximization(data, probabilities): #M-step. this updates the means, covariances, and priors of all clusters
    m, n = data.shape
    numOfClusters = probabilities.shape[1]

    means = np.zeros((numOfClusters, n))
    covs = np.zeros((numOfClusters, n, n))
    priors = np.zeros((numOfClusters, 1))

    for i in range(0, numOfClusters):
        priors[i, 0] = np.sum(probabilities[:, i]) / m #update priors

        for j in range(0, m): #update means
            means[i] += probabilities[j, i] * data[j, :]

            vec = np.reshape(data[j, :] - means[i, :], (n, 1))
            covs[i] += probabilities[j, i] * np.dot(vec, vec.T) #update covs

        means[i] /= np.sum(probabilities[:, i])
        covs[i] /= np.sum(probabilities[:, i])

    return [means, covs, priors]

def normalPDF(x, mean, covariance): #this is simply multivariate normal pdf
    n = len(x)

    mean = np.reshape(mean, (n, ))
    x = np.reshape(x, (n, ))

    var = multivariate_normal(mean=mean, cov=covariance,)
    return var.pdf(x)


def initClusters(numOfClusters, data): #initialize all the gaussian clusters (means, covariances, priors
    m, n = data.shape

    means = np.zeros((numOfClusters, n))
    covs = np.zeros((numOfClusters, n, n))
    priors = np.zeros((numOfClusters, 1))

    initialCovariance = np.cov(data.T)

    for i in range(0, numOfClusters):
        means[i] = np.random.rand(n) #the initial mean for each gaussian is chosen randomly
        covs[i] = initialCovariance #the initial covariance of each cluster is the covariance of the data
        priors[i, 0] = 1.0 / numOfClusters #the initial priors are uniformly distributed.

    return [means, covs, priors]

def logLikelihood(data, probabilities): #data is our data. probabilities[i, j] = k means probability example i belongs in cluster j is 0 < k < 1
    m = data.shape[0] #num of examples

    examplesByCluster = np.zeros((m, 1))
    for i in range(0, m):
        examplesByCluster[i, 0] = np.argmax(probabilities[i, :])
    examplesByCluster = examplesByCluster.astype(int) #examplesByCluster[i] = j means that example i belongs in cluster j

    result = 0
    for i in range(0, m):
        result += np.log(probabilities[i, examplesByCluster[i, 0]]) #example i belongs in cluster examplesByCluster[i, 0]

    return result

m = 2000 #num of training examples
n = 8 #num of features for each example

data = np.random.rand(m, n)
numOfClusters = 2 #num of gaussians
numIter = 30 #num of iterations of EM
cost = np.zeros((numIter, 1))

[means, covs, priors] = initClusters(numOfClusters, data)

for i in range(0, numIter):
    probabilities = expectation(data, means, covs, priors)
    [means, covs, priors] = maximization(data, probabilities)

    cost[i, 0] = logLikelihood(data, probabilities)

plt.plot(cost)
plt.show()

将numpy导入为np
从scipy.stats导入多变量_normal
将matplotlib.pyplot作为plt导入
#此代码的参考是http://mccormickml.com/2014/08/04/gaussian-mixture-models-tutorial-and-matlab-code/
def期望值（数据、平均值、COV、先验值）：#E-step。返回更新的概率
m=data.shape[0]#获取数据，表示所有簇的协方差和先验值
numOfClusters=priors.shape[0]
概率=np.零（（m，numof簇））
对于范围（0，m）内的i：
对于范围内的j（0，numo）：
总和=0
对于范围内的l（0，numOfClusters）：
sum+=normalPDF（数据[i，：]，表示[l]，covs[l]）*优先级[l，0]
概率[i，j]=normalPDF（数据[i，：]，表示[j]，covs[j]）*先验[j，0]/和
返回概率
def最大化（数据、概率）：#M步。这将更新所有簇的平均值、协方差和先验值
m、 n=data.shape
numOfClusters=概率。形状[1]
平均数=np.零（（numf，n））
covs=np.zero（（numOfClusters，n，n））
先验值=np.0（（NUMOF簇，1））
对于范围内的i（0，numOfClusters）：
先验[i，0]=np.sum（概率[：，i]）/m#更新先验
对于范围（0，m）内的j:#更新意味着
指[i]+=概率[j，i]*数据[j，：]
向量=np.重塑（数据[j，：]-表示[i，：]，（n，1））
covs[i]+=概率[j，i]*np.dot（vec，vec.T）#更新covs
指[i]/=np.和（概率[：，i]）
covs[i]/=np.和（概率[：，i]）
回报[手段、价值、优先]
def normalPDF（x，均值，协方差）：#这只是多元正态pdf
n=len（x）
平均值=np。重塑（平均值，（n，）
x=np.重塑（x，（n，））
var=多元正态分布（平均值=平均值，cov=协方差）
return var.pdf（x）
def initClusters（numOfClusters，data）：#初始化所有高斯聚类（均值、协方差、先验）
m、 n=data.shape
平均数=np.零（（numf，n））
covs=np.zero（（numOfClusters，n，n））
先验值=np.0（（NUMOF簇，1））
初始协方差=np.cov（data.T）
对于范围内的i（0，numOfClusters）：
均值[i]=np.random.rand（n）#随机选择每个高斯分布的初始均值
covs[i]=初始协方差#每个簇的初始协方差是数据的协方差
先验值[i，0]=1.0/numOfClusters#初始先验值是均匀分布的。
回报[手段、价值、优先]
def loglikelike（数据，概率）：#数据是我们的数据。概率[i，j]=k表示概率示例i属于集群j的概率为0

问题是对数似然性表现得很奇怪。我希望它是单调递增的。但事实并非如此

例如，对于2000个具有3个高斯聚类的8个特征的示例，对数似然性如下所示（30次迭代）-

这是非常糟糕的，但在我运行的其他测试中，例如一个测试，有15个示例，包含2个特性和2个集群，其逻辑可能性如下-

更好，但仍然不完美

---

为什么会发生这种情况？我如何解决它？

问题在于最大化步骤

代码使用

平均值

计算

COV

。但是，在将

平均值

除以概率之和之前，这是在同一个循环中完成的

这会导致估计的协方差爆炸

下面是一个建议的修复方法：

def maximization(data, probabilities): #M-step. this updates the means, covariances, and priors of all clusters
    m, n = data.shape
    numOfClusters = probabilities.shape[1]

    means = np.zeros((numOfClusters, n))
    covs = np.zeros((numOfClusters, n, n))
    priors = np.zeros((numOfClusters, 1))

    for i in range(0, numOfClusters):
        priors[i, 0] = np.sum(probabilities[:, i]) / m   #update priors

        for j in range(0, m): #update means
            means[i] += probabilities[j, i] * data[j, :]

        means[i] /= np.sum(probabilities[:, i])

    for i in range(0, numOfClusters):
        for j in range(0, m): #update means
            vec = np.reshape(data[j, :] - means[i, :], (n, 1))
            covs[i] += probabilities[j, i] * np.multiply(vec, vec.T) #update covs

        covs[i] /= np.sum(probabilities[:, i])

    return [means, covs, priors]

以及由此产生的成本函数（200个数据点，4个特征）：

编辑： 我确信这个bug是代码中唯一的问题，但是在运行一些额外的示例时，我仍然有时会看到非单调行为（虽然不像以前那么不稳定）。因此，这似乎只是问题的一部分

编辑2：

---

协方差计算中还有另一个问题：向量乘法应该是元素相乘，而不是点积-请记住，结果应该是向量。结果现在似乎一直是单调递增的。

您试图建模什么数据？从代码中可以看出，您正在建模随机点，即没有结构e可以在数据中找到。如果是这样的话，你的GMM模型可能只是随机波动。在这种情况下，它是随机的，但在未来它可能是任何类型的数据，从温度到车辆传感器读数，任何东西。我认为数据是随机的并不重要。从理论上讲，我们保证单调收敛。即使在rando上m数据。您是否尝试将您的结果与已知有效的实现生成的结果进行比较？一个选项是fr