Python 为什么下面的算法是O（1）空间？

输入：一个正整数列表，其中一个条目正好出现一次，而所有其他条目正好出现两次（例如[1,3,2,5,3,4,1,2,4]）

输出：唯一条目（上例中为5）

下面的算法应该是O（m）时间和O（1）空间，其中m是列表的大小

def get_unique(intlist):
    unique_val = 0
    for int in intlist:
        unique_val ^= int
    return unique_val

---

我的分析是：给定一个长度为m的列表，输入列表中将有（m+1）/2个唯一的正整数，因此列表中最小的可能最大整数将是（m+1）/2。如果我们假设这是最好的情况，那么在进行异或求和时，变量unique_val将需要内存中的上限（log（（m+1）/2））位，因此我认为空间复杂度至少应该是O（log（m））。

您的分析肯定是一个正确答案，特别是在Python这样的语言中，它可以优雅地处理任意大的数字

在考虑空间和时间的复杂性时，清楚地了解您试图衡量的是什么是很重要的。一个合理的假设可能是整数的大小是恒定的（例如，您使用的是64位整数）。在这种情况下，空间复杂度当然是O（1），但时间复杂度仍然是O（m）

现在，您还可以说，使用固定大小的整数意味着

m

的大小有一个恒定的上限，因此时间复杂度也可能是O（1）。但是在大多数情况下，如果你需要分析这种算法的运行时间，你可能对长度为10的列表和长度为10亿的列表之间的差异非常感兴趣

我想说，在分析空间和时间复杂性时，澄清和陈述你的假设是很重要的。在这种情况下，我假设我们有一个固定大小的整数，值

m

比最大整数值小得多。在这种情况下，O（1）空间和O（m）时间可能是最好的答案

编辑（基于其他答案中的讨论）

由于所有

m

给您的都是列表中最大值的下限，因此您确实无法提供空间的最坏情况估计。即列表中的数字可以任意大。要对此算法的空间复杂度给出合理的答案，您需要对输入值的最大大小进行一些假设。

通常（空间/时间）复杂度分析应用于更高级别的算法。虽然您可以下拉到特定的语言实现级别，但它可能并非在所有情况下都有用

你的分析是对的，也可能是错的。它适用于当前的cpython实现，其中整数没有最大值。如果您的所有整数都相对较小，并且适合于实现特定的小数字情况，那么就可以了

但它不一定对所有其他python实现都有效。例如，您可以有一个优化实现，该实现指出不再使用

intlist

，而是使用

unique\u val

，它重用已使用列表元素的空间。（基本上将此函数转换为空间优化的reduce调用）

再说一次，我们甚至可以用分配的整数讨论GC'd语言中的空间复杂性吗？您对复杂性的分析是错误的，因为

a^=b

将为大值

b

分配新内存，而其大小取决于系统、体系结构、python版本和运气

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然而，您最初的问题是“为什么下面的算法是O（1）空间？”。如果您查看算法本身并假设您有一些任意的最大整数限制，或者您的语言可以在有限的空间中表示任何数字，那么答案是肯定的。具有这些条件的算法本身使用恒定空间。

算法的复杂性始终取决于您使用的机器模型（=平台）。例如，我们常说IEEE浮点数的乘法和除法具有运行时复杂性O（1）-情况并非总是如此（例如，在没有FPU的8086处理器上）

对于上述算法，只要输入列表中没有大于2147483647（=sys.maxint）的元素，空间复杂度O（1）就保持不变。通常，python将整数存储为带符号的32位值。对于这些数据类型，您的处理器已经在硬件中实现了所有相关操作，通常只需要固定数量的时钟周期（在大多数情况下只有一个）来执行它们（=运行时复杂性O（1）），并且只占用固定数量的内存地址（只有一个）来存储结果（=空间复杂性O（1））

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但是，如果输入超过2147483647，python通常使用软件实现的数据类型来存储这些大整数。这些操作不再在O（1）中，它们需要的不仅仅是常数O（1）空间。

它在空间中是O（1），因为它只使用单个变量

unique\u val

（它是标量，而不是列表、元组等），而不管输入列表的大小。如果将内存单元建模为位或字节，则为O（log（m）），而O（1）如果将内存单元建模为包含任意大小的整数。这两种模型都用于复杂性分析（和其他模型一样），但复杂性分析的基本原理并不像你想象的那样清晰。根据问题陈述，长度m意味着其中至少有一个大小（m+1）/2的值。我认为如果我的分析是正确的，它至少和O（logm）空间一样糟糕，因此O（1）空间不可能是一个上限。我自己也不相信，我仍然不太明白发生了什么：）答案很有帮助。谢谢，这就是我所困惑的。问题陈述/解决方案似乎告诉我，我可以在任意列表上获得O（1）个空间，但随后存储大小将随着O（logm）的增加而增加。因此，在这种情况下，我可以限制输入的大小，我同意O（1）空间，但正如你所说，列表的长度是有界的，似乎我们也得到了O（1）时间。我是