Python NumPy中exp（-x^2）的快速傅里叶变换

我必须用数值计算高斯函数的二阶导数：
我已经阅读了关于这个话题的每一个问题，但是没有得出一个好的结果。我选择NumPy作为我的工具

我们教授的指导是：

使用步骤

dx=1

获取大小为

N=128

的

x

数组。所以，

-64，-63，…，62，63

。计算

f（x）

在

f（x）

上执行FFT，并接收变换后的数组

f\m

用f_m乘以，其中为虚单位，为导数和

执行逆FFT以接收导数

在某些FFT实现中，您可能必须按

1/n

进行缩放（但这是目前最小的问题）

下面是我的代码，尽可能简单

import numpy as np

# Set some parameters
n = 128
dx = 1
a = 0.001

# Create x, calculate f(x) and its FFT
x = np.arange(-n/2, n/2) * dx
psi = np.exp(-a * x * x)
f_m = np.fft.fft(psi)

# k_m creation according to professor (point 3. in my instruction)
k_m = np.arange(-n/2, n/2, dtype=float)
k_m[:int(n / 2)] = (2 * np.pi * k_m[:int(n / 2)]) / (n * dx)
k_m[int(n / 2):] = (2 * np.pi * (k_m[int(n / 2):] - n)) / (n * dx)

# Multiply f_m by (j * k_m)^q. For q=2, this is -k_m^2
f_m *= -k_m * k_m
# Inverse FFT on the result to get the second derivative and scale by 1 / n
f_m = np.fft.ifft(f_m) / n

我不能得到的一件事是，结果仍然有虚部，所以有些东西是不对的。有人能帮忙吗

编辑：Cris Luengo的答案有效。

这部分错了：

k_m = np.arange(-n/2, n/2, dtype=float)

步骤3中的说明讨论了从0到n-1的

m

。代码应该如下所示：

k_m=np.arange（0，n，dtype=float）
一半=整数（n/2）+1；#注意这里的+1！
k_m[：half]=（2*np.pi*k_m[：half]）/（n*dx）
k_m[half:=（2*np.pi*（k_m[half:-n））/（n*dx）

FFT产生一个输出，其中第一个元素（索引0）是0频率，而不是频率

-n/2

如果您使用

fftshift

将0频率槽移到阵列的中间，您当前版本的

k_m

阵列可能是正确的，尽管我不能完全确定这一点（可能应该删除下半部分中的

-n

）

---

最后，这里不需要除以

n

：

f_m = np.fft.ifft(f_m) / n

NumPy IFFT已经标准化

在验证虚部几乎为零后，请记住绘制

f_m.real

（这些值应仅因数值舍入误差而与零不同）

---

如果你把

a

放大一点，例如

a=0.005

，那么你的输入高斯完全适合输入信号，并且你不会因为过滤被切断的信号而产生难看的边缘效果。

你可以用一个更简单的

k

，只要你在某个点执行正确的FT移位，发动机罩下的机具与您的讲师或@CrisLuengo明确书写的相同

import numpy as np


# Set some parameters
n = 128
dx = 1
a = 0.001

# Create x, calculate f(x) and its FFT
x = np.arange(-n // 2, n // 2) * dx
f_x = np.exp(-a * x ** 2)
dd_f_x = 2 * a * np.exp(-a * x ** 2) * (2 * a * x ** 2 - 1)

f_k = np.fft.fft(f_x)
k = np.fft.ifftshift(np.arange(-n // 2, n // 2))
k = (2 * np.pi * k / (n * dx))
dd_f_k = -k ** 2 * f_k
dd_f_x_ = np.fft.ifft(dd_f_k)

其工作原理与预期一致：

import matplotlib.pyplot as plt


fig, ax = plt.subplots(1, 1, squeeze=True)
ax.plot(x, dd_f_x_.real, label='∂²/∂x² f(x) with DFT')
ax.plot(x, dd_f_x, label='∂²/∂x² f(x)')
ax.legend()

---

谢谢你的回答。更改为

f_m=np.fft.fftshift（np.fft.fft（psi））

和

k_m=np.arange（0，n，dtype=float）

后仍然不起作用，尽管…@lkky7：是的，你应该做这两件事中的一件，而不是两件。谢谢你，这改变了一些事情，但仍然是一个坏结果。删除

-n

也不会改变这一点：（将结果添加到edit@lkky7当我用我的更改运行代码时，我确实看到了一个正确的二阶导数。请注意，您正在将其与图形中的一阶导数进行比较。您还将结果按比例缩小了一个因子

n

，这是您不应该做的。如果将

a

的影响增大，结果确实会产生一个难看的边缘效果还需要注意的是，您需要忽略（几乎为零）虚部，并绘制

f_m.real

。