Python numpy.polyfit的额外结果意味着什么？

使用numpy的多边形拟合创建最佳拟合线时，可以将参数full指定为True。这将返回除系数外的4个额外值。这些值意味着什么？它们告诉我函数与我的数据的拟合程度如何

我正在做的是：

bestFit = np.polyfit(x_data, y_data, deg=1, full=True)

我得到的结果是：

(array([ 0.00062008,  0.00328837]), array([ 0.00323329]), 2, array([ 
1.30236506,  0.55122159]), 1.1102230246251565e-15)

文件中说，额外的四条信息是：残差、秩、奇异值和rcond

编辑： 我正在寻找rcond和singular_值如何描述拟合优度的进一步解释

谢谢大家!

rcond和奇异_值如何描述拟合优度

简单回答：他们没有

它们没有描述多项式与数据的拟合程度；这就是残差的用途。他们描述了多项式的计算在数值上的鲁棒性

雷康德

rcond

的值实际上与拟合质量无关，它描述了获得拟合的过程，即线性系统的最小二乘解。大多数情况下，

polyfit

的用户不提供此参数，因此由

polyfit

本身选择合适的值。然后将该值返回给用户，供其参考

rcond

用于病态矩阵中的截断。最小二乘解算器完成两件事：

找到使残差Ax-b的范数最小的x

如果多个x达到该最小值，则返回其中具有最小范数的x 第二个子句发生在x的某些更改完全不影响右侧时。但由于浮点计算是不完善的，通常情况下，x的某些变化对右侧的影响很小。在这里，

rcond

用于确定“非常小”何时应被视为“零至噪声”

例如，考虑系统

x1                     = 1
x1 + 0.0000000001 * x2 = 2

这个问题可以精确求解：x1=1，x2=1000000000。但是那个微小的系数（实际上，是在一些矩阵运算之后产生的）有一些数值误差；据我们所知，它可能是负数，也可能是零。我们是否应该让它对解决方案产生如此巨大的影响

因此，在这种情况下，矩阵（特别是其奇异值）在

rcond

级别被截断。这只剩下

x1 = 1
x1 = 2

其最小二乘解为x1=1.5，x2=0。请注意，此解决方案是健壮的：系数的微小波动不会产生巨大的数值

奇异值 当用最小二乘法解线性系统Ax=b时，a的奇异值决定了这在数值上有多复杂。具体来说，最大和最小奇异值之间的巨大差异是有问题的：这样的系统是病态的。例如

0.835*x1 + 0.667*x2 = 0.168
0.333*x1 + 0.266*x2 = 0.0067

精确解为（1，-1）。但是如果将右侧从0.067更改为0.066，则解决方案是（-666834）——完全不同。问题是A的奇异值（大致）为1和1e-6；这会将右侧的任何更改放大1e6倍

不幸的是，多项式拟合常常导致病态矩阵。例如，拟合24到25次等距数据点的多项式是不可取的

import numpy as np
x = np.arange(25)
np.polyfit(x, x, 24, full=True)

奇异值为

 array([4.68696731e+00, 1.55044718e+00, 7.17264545e-01, 3.14298605e-01,
        1.16528492e-01, 3.84141241e-02, 1.15530672e-02, 3.20120674e-03,
        8.20608411e-04, 1.94870760e-04, 4.28461687e-05, 8.70404409e-06,
        1.62785983e-06, 2.78844775e-07, 4.34463936e-08, 6.10212689e-09,
        7.63709211e-10, 8.39231664e-11, 7.94539407e-12, 6.32326226e-13,
        4.09332903e-14, 2.05501534e-15, 7.55397827e-17, 4.81104905e-18,
        8.98275758e-20]),

使用默认值rcond（

5.55e-15

here），其中四个被截断为0

最小和最大奇异值之间的大小差异表明，通过大小为1e-15的数量扰动y值，可导致系数变化约1。（并不是每个扰动都能做到这一点，只是有些扰动恰好与一个小奇异值的奇异向量对齐）

等级

---

有效秩只是高于

rcond

阈值的奇异值的数量。在上面的例子中是21。这意味着，即使拟合是针对25个点的，并且我们得到了一个具有25个系数的多项式，但在解中只有21个自由度

键入

help（np.polyfit）

并在链接页面的右侧向下滚动一个bitIt，使用传统链接可获取更多信息。查看您链接到文档的返回值的描述，它提供了

残差、秩、奇异值、rcond

（和

V

）的含义的摘要，并带有“了解更多详细信息”链接。你不明白其中的哪一部分？如果你不明白fit算法背后的基本思想，你需要学习数学，而不是学习numpy如何揭示数学，所以你可能问错了地方。如果您知道这些想法，但即使在阅读了链接的

lstsq

页面后也不理解它们在这里的应用，那么您必须有一个具体的问题，您可以在这里提问。请为我指出有人可以扩展rcond和奇异值含义的方向。