Python 用FFT计算高斯分布和的PDF

我试图导出独立随机变量之和的PDF。首先，我想做一个简单的例子：高斯随机变量之和

我惊讶地发现，当我对偶数个高斯随机变量求和时，并没有得到高斯密度函数。我实际上得到：

看起来像是高斯分布的两个半。 另一方面，当我对奇数个高斯分布求和时，我得到了正确的分布：

下面是我用来产生上述结果的代码：

import numpy as np
from scipy.stats import norm
from scipy.fftpack import fft,ifft
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

a=10**(-15)
end=norm(0,1).ppf(a)
sample=np.linspace(end,-end,1000)
pdf=norm(0,1).pdf(sample)
plt.subplot(211)
plt.plot(np.real(ifft(fft(pdf)**2)))
plt.subplot(212)
plt.plot(np.real(ifft(fft(pdf)**3)))

有人能帮我理解为什么高斯分布的偶数和会得到奇数结果吗？

使用R

library(ggplot2) 
f <- function(n) {
   x1 <- rnorm(n)
   x2 <- rnorm(n)
   X <- x1+x2
   return(ds)
}
ds.list <- lapply(10^(2:5),f)
ds <- Reduce(rbind,ds.list)
ggplot(ds,aes(X,fill = n)) + geom_density(alpha = 0.5) + xlab("")

库（ggplot2）
f即使您的代码创建了零均值高斯PDF：

sample=np.linspace(end,-end,1000)
pdf=norm(0,1).pdf(sample)

FFT不知道样本

，只看到样本在0、1、2、3、。。。999FFT期望原点是信号的第一个样本。对于FFT函数，PDF的平均值不是零，而是500

因此，这里的情况是，你将两个平均值为500的PDF相加，得到一个平均值为1000的PDF。因为FFT对空间域信号施加了周期性，所以您可以看到PDF从右侧的图形中退出，从左侧返回

加上3个PDF，平均值变为1500，由于周期性，与500相同，这意味着它最终与原始PDF位于同一位置

解决方案是将原点移到FFT的第一个样本，然后将结果移回：

from scipy.fftpack import fftshift, ifftshift
pdf2 = fftshift(ifft(fft(ifftshift(pdf))**2))

ifftshift

移动信号，使中心样本在第一个样本处结束，并且

fftshift

将其移回您想要显示的位置

但是请注意，您生成PDF的方式，源文件不在示例中，因此上述内容将无法准确工作。相反，请使用：

sample=np.linspace(end,-end,1001)
pdf=norm(0,1).pdf(sample)

---

通过选取1001个样本而不是1000个样本，零正好位于中间样本。

我不知道为什么要使用fft来处理pdf？卷积标签和这里的东西有什么关系？你确定要pdf文件吗？你想把中心极限定理形象化吗？

fft（pdf）**2

并不是所有偶数变量的和，它是对信号进行平方处理，这是时域卷积。fft（pdf）**2的变换应该给我两个中心高斯随机变量之和的pdf。fft将卷积转换为乘积。这被标记为Python问题，而不是R问题。