Python 如何用更省时的方法替换嵌套for循环？

我给出了一个矩形，其左下和右上顶点坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）。一般点（x，y）在矩形外给出。并给出了一个整数值R

现在，我的目标是找到矩形上和内部的积分点总数，这些积分点与（x，y）的距离小于或等于R

我所做的是：

n=0
for i in range(x1, x2+1, 1):
    for j in range(y1, y2+1, 1):
        if (i-x)**2+(j-y)**2<=R2:
            n+=1

print(n)

n=0
对于范围内的i（x1，x2+1，1）：
对于范围（y1，y2+1，1）内的j：
如果（i-x）**2+（j-y）**2您可以将numpy用于矢量化暴力版本：

将numpy导入为np
P_x，P_y=-8,0
R=9
最小x_，最大x_=0,1
y_最小值，y_最大值=0,1
xx，yy=np.meshgrid（np.arange（x_最小，x_最大+1），np.arange（x_最小，x_最大+1））
距离=（（xx-pux）**2+（yy-puy）**2）
打印（距离）
打印（np.sum）（距离对于矢量化暴力版本，您可以使用numpy：

将numpy导入为np
P_x，P_y=-8,0
R=9
最小x_，最大x_=0,1
y_最小值，y_最大值=0,1
xx，yy=np.meshgrid（np.arange（x_最小，x_最大+1），np.arange（x_最小，x_最大+1））
距离=（（xx-pux）**2+（yy-puy）**2）
打印（距离）
打印（np.sum）（距离查找圆与矩形的交点

将交点类型分类为cap（圆线段）、扇形、无扇形的线段，可能还有其他类型

按Y坐标扫描，每个Y得到矩形和圆形内对应的最后一个X

将
X-edgeX
值添加到扇形交叉点的结果中。
edgeX
可能是x1或x2，具体取决于圆与哪个边相交

对于圆帽，取两个X点并将其差值相加

使用这种方法，复杂度与矩形大小成线性关系，但需要对交点进行分类。
找到圆与矩形的交点

将交点类型分类为cap（圆线段）、扇形、无扇形的线段，可能还有其他类型

按Y坐标扫描，每个Y得到矩形和圆形内对应的最后一个X

将
X-edgeX
值添加到扇形交叉点的结果中。
edgeX
可能是x1或x2，具体取决于圆与哪个边相交

对于圆帽，取两个X点并将其差值相加

使用这种方法，复杂度与矩形大小成线性关系，但需要对相交点进行分类。
通过将圆的离散点作为一系列直线来逼近，可以大大降低复杂度。使用这些直线，可以在无需计算时间的情况下，从数学上计算矩形相交点的数量嵌套循环。这将把复杂性从O（n^2）降低到O（n）

例如：

x1,y1 = (0,0)
x2,y2 = (1,1)
x,y   = (-8,0)
R     = 9

n = 0 
for cy in range(y-R,y+R+1):           # cy: vertical coordinate of circle's lines
    if cy not in range(y1,y2+1):          # no vertical intersection
        continue
    dx  = int((R**2-(cy-y)**2)**0.5)      # width of half circle at cy
    cx1,cx2 = x-dx,x+dx                   # edges of circle at line cy
    if cx2<x1 or cx1>x2: continue         # no horizontal intersection
    n += min(x2,cx2)-max(x1,cx1)+1        # intersection with cy line

print(n) # 3

通过将圆的离散点近似为一系列直线，可以大大降低复杂性。使用这些直线，可以在不使用嵌套循环的情况下，以数学方式计算与矩形相交的点的数量。这将使复杂性从O（n^2）降低到O（n）

例如：

x1,y1 = (0,0)
x2,y2 = (1,1)
x,y   = (-8,0)
R     = 9

n = 0 
for cy in range(y-R,y+R+1):           # cy: vertical coordinate of circle's lines
    if cy not in range(y1,y2+1):          # no vertical intersection
        continue
    dx  = int((R**2-(cy-y)**2)**0.5)      # width of half circle at cy
    cx1,cx2 = x-dx,x+dx                   # edges of circle at line cy
    if cx2<x1 or cx1>x2: continue         # no horizontal intersection
    n += min(x2,cx2)-max(x1,cx1)+1        # intersection with cy line

print(n) # 3

阅读列表理解嵌套列表理解同样会降低时间效率，不是吗？要获得更快的近似答案，您可以试试。@JoseKilo不，列表理解是有效的faster@Ethan不是真的…检查这个答案也许有一点改进，但在字节码级别，它们基本上是相同的。无论如何，OP是在问ab提高时间复杂度。阅读列表理解嵌套列表理解同样会降低时间效率，不是吗？要获得更快的近似答案，你可以试试。@JoseKilo不，列表理解是有效的faster@Ethan不是真的…检查这个答案也许有一点改进，但在字节码级别，它们本质上是同样。不管怎样，OP是在询问如何提高时间复杂度。