Python numpy.linalg.inv（）是否给出了正确的矩阵逆？编辑：为什么inv（）会给出数字错误？

我有一个矩阵形状（40004000），我想取相反的。（我对矩阵求逆的直觉在如此大的矩阵中崩溃了。）

起始矩阵的值为

e-10

，具有以下值：

打印矩阵

给出输出

[[  2.19885119e-10   2.16462810e-10   2.13062782e-10 ...,  -2.16462810e-10
   -2.19885119e-10  -2.16462810e-10]
 [  2.16462810e-10   2.19885119e-10   2.16462810e-10 ...,  -2.13062782e-10
   -2.16462810e-10  -2.19885119e-10]
 [  2.13062782e-10   2.16462810e-10   2.19885119e-10 ...,  -2.16462810e-10
   -2.13062782e-10  -2.16462810e-10]
 ..., 
 [ -2.16462810e-10  -2.13062782e-10  -2.16462810e-10 ...,   2.19885119e-10
    2.16462810e-10   2.13062782e-10]
 [ -2.19885119e-10  -2.16462810e-10  -2.13062782e-10 ...,   2.16462810e-10
    2.19885119e-10   2.16462810e-10]
 [ -2.16462810e-10  -2.19885119e-10  -2.16462810e-10 ...,   2.13062782e-10
    2.16462810e-10   2.19885119e-10]]

然后我使用NumPy的NumPy.linalg.inv（）来反转矩阵

import numpy as np
new_matrix = np.linalg.inv(matrix)
print new_matrix

这是我得到的回报：

[[  1.95176541e+25   9.66643852e+23  -1.22660930e+25 ...,  -1.96621184e+25
   -9.41413909e+24   1.33500310e+25]
 [  2.01500967e+25   1.08946558e+24  -1.25813014e+25 ...,  -2.07717912e+25
   -9.86804459e+24   1.42950556e+25]
 [  3.55575106e+25   2.11333704e+24  -2.25333936e+25 ...,  -3.68616202e+25
   -1.72651875e+25   2.51239524e+25]
 ..., 
 [  3.07255588e+25   1.61759838e+24  -1.95678425e+25 ...,  -3.15440712e+25
   -1.47472306e+25   2.13570651e+25]
 [ -7.24380790e+24  -8.63730581e+23   4.90519245e+24 ...,   8.30663797e+24
    3.70858694e+24  -5.32291734e+24]
 [ -1.95760004e+25  -1.12341031e+24   1.23820305e+25 ...,   2.01608416e+25
    9.40221886e+24  -1.37605863e+25]]

这是一个巨大的差异！怎么可能呢？大小矩阵

e-10

被转换为大小矩阵

e+25

这在数学上是正确的，还是IEEE浮点值出现了故障

如果这在数学上是正确的，有人能给我解释一下这背后的数学直觉吗

编辑：

根据下面的评论，我决定进行测试

np.dot（矩阵，新矩阵）

应该给出单位矩阵，A*A^T=identity

这是我的输出：

[[  0.   -3.  -16.  ...,  16.    8.   12. ]
 [-24.   -1.5  -8.  ...,  32.   -4.   36. ]
 [ 40.    1.  -64.  ...,  24.   20.   24. ]
 ..., 
 [ 32.   -0.5  48.  ..., -16.  -20.   16. ]
 [ 40.    7.   16.  ..., -48.  -36.  -28. ]
 [ 16.    3.   12.  ..., -80.   16.    0. ]]

为什么

numpy.linalg.inv（）

会导致数字错误

np.allclose( np.dot(matrix, new_matrix), np.identity(4000) )

---

给出

假

对于两个矩阵的行列式

det(A) * det(A^{-1}) = 1

因此，如果

det（A）

很大，那么

det（A^{-1}）

很小。对于2个矩阵的范数（如果选择次乘法范数），您可以：

其中| |是次乘法范数的合理选择。在这里，你可以直观地观察到数值上的结果：如果>=符号实际上是a~=，那么你可以恢复与行列式完全相同的观察结果

同样的道理适用于如果考虑产品

A * A^{-1} = 1

对于包含所有正元素的矩阵

a

。对于RHS处

1

对角线上的元素，如果

A

的元素非常大，则需要

A^{-1}

中非常小的数字

PS：但是请注意，这并不能证明这一趋势总是成立的。这只是提供了数学直觉，说明了为什么要观察这种缩放

编辑，作为对评论的答复：

最初的问题是“如果这在数学上是正确的，有人能给我解释一下这背后的数学直觉吗？”。事实上，在数学上正确且合理的是，给定一个具有小数值的矩阵，逆矩阵将具有大数值。上面我解释了为什么会这样

回答OP编辑中出现的另一个问题，这就是为什么

inv（）

会导致数值错误：矩阵求逆是一个困难的问题。这就是为什么每次我们可以避免反转它们的原因。例如，对于这个问题

A x = b

---

我们不计算

A

的逆，而是使用其他算法（在实践中，您可以调用python作为例子）。

您的矩阵是病态的，因为

np.linalg.cond(matrix) > np.finfo(matrix.dtype).eps

---

根据你可以考虑使用逆矩阵。< /P>什么是行列式（<代码> NUPY.LIALG.DET（m）< /代码>）和矩阵的条件号（<代码> NUMPY.LIALG.COND（m）< /代码>）？如果矩阵的行列式为零，则它不具有逆。你真的确定A上的零行列式是错误的吗？我用400x400的随机数矩阵做了一些测试，它可以工作，但由于浮点运算，有一些小错误。@Sauruxum numpy.linalg.det（）经常给出错误的答案。该操作首先执行slogdet（），然后执行指数运算。请参阅代码。同样，矩阵也有一个逆矩阵。没有理由不。@RobFoley不，是什么让你有这个想法的？Python和numpy都使用标准的IEEE浮点。您真的需要反转矩阵吗？如果你试图解一个线性方程组，那就使用

np.linag.solve

来计算解，而不是直接求逆矩阵。如果这是正确的，我的测试应该是取乘积，对吗？原始矩阵是

矩阵

。逆矩阵是新矩阵。因此，

np.dot（matrix，new_matrix）

应该给我们单位矩阵，对吗？应该，除非你碰到了数字错误。例如，从numpy.random导入rand尝试

；来自scipy.linalg进口投资部；A=兰特（4,4）；打印（点（A，inv（A））

得到一个酉矩阵。看看什么是预条件。我建议不要反转矩阵，这取决于您试图解决的问题。@rth“您不能使用

scipy.linalg.solve

反转矩阵”-当然可以！事实上，

np.linalg.inv

就是这样工作的（它相当于

np.linalg.solve（A，np.eye（A.shape[0]））

）。至少在当前的numpy开发版本中，

inv

也使用

gesv

。请参阅-在

inv

中使用的

lapack\u func

是

gesv

-它只是传递一个身份矩阵作为“B”参数。它应该取决于数组的数据类型的epsilon（即

np.finfo（matrix）.eps），它可能与
sys.float\u info.epsilon
不同，这应该是
np.finfo（matrix.dtype）.eps
np.linalg.cond(matrix) > np.finfo(matrix.dtype).eps