Python 龙格–；库塔四阶方法

我正在为两个方程组实现Runge–Kutta四阶方法

h是段数，因此T/h是步长

def cauchy(f1, f2, x10, x20, T, h):
    x1 = [x10]
    x2 = [x20]

    for i in range(1, h):
        k11 = f1((i-1)*T/h, x1[-1], x2[-1])
        k12 = f2((i-1)*T/h, x1[-1], x2[-1])
        k21 = f1((i-1)*T/h + T/h/2, x1[-1] + T/h/2*k11, x2[-1] + T/h/2*k12)
        k22 = f2((i-1)*T/h + T/h/2, x1[-1] + T/h/2*k11, x2[-1] + T/h/2*k12)
        k31 = f1((i-1)*T/h + T/h/2, x1[-1] + T/h/2*k21, x2[-1] + T/h/2*k22)
        k32 = f2((i-1)*T/h + T/h/2, x1[-1] + T/h/2*k21, x2[-1] + T/h/2*k22)
        k41 = f1((i-1)*T/h + T/h, x1[-1] + T/h*k31, x2[-1] + T/h*k32)
        k42 = f2((i-1)*T/h + T/h, x1[-1] + T/h*k31, x2[-1] + T/h*k32)

        x1.append(x1[-1] + T/h/6*(k11 + 2*k21 + 2*k31 + k41))
        x2.append(x2[-1] + T/h/6*(k12 + 2*k22 + 2*k32 + k42))

    return x1, x2

然后我在这个系统上测试它：

它似乎工作正常（我还用不同的初始值和不同的函数对它进行了测试：一切正常）：

然后我想检查错误的顺序是否为

O（步骤^4）

，因此我减少步骤并计算如下错误：

我明白了：

plt.plot(step, x1_error, label="x1_error")
plt.plot(step, x2_error, label="x2_error")
plt.legend()

因此，从步长开始，误差是线性的。这真的很奇怪，因为它的顺序应该是

O（步骤^4）

。谁能告诉我我做错了什么

for i in range(1, h):

这将从

1

迭代到

h-1

。由于缺少最后一步，时间

T-T/h时的
x[h-1]
与时间
T
时的精确解之间的差异是
O（T/h）

因此使用

for i in range(1,h+1):

对于
h
从
i-1
到
i
的步骤，或

for i in range(h):

对于
h
从
i
到
i+1
的步骤


另外，
np.linspace（0,1,4）
将产生
4
等距数字，其中第一个是
0
，最后一个是
1
，从而产生

array([ 0.        ,  0.33333333,  0.66666667,  1.        ])

这可能不是你所期望的。因此，与上述更正一起使用

t = np.linspace(0, T, segm+1)

在两次计算中使用相同的时间点


如果您使用字母的通常含义，则更容易遵循代码，其中
h
或
dt
是步长，而
N
是步数。然后在循环之前定义
h=T/N
或
dt=T/N
，以避免在函数调用中重复使用
T/N

这将从
1
迭代到
h-1
。由于缺少最后一步，时间
T-T/h时的
x[h-1]
与时间
T
时的精确解之间的差异是
O（T/h）

因此使用

for i in range(1,h+1):

对于
h
从
i-1
到
i
的步骤，或

for i in range(h):

对于
h
从
i
到
i+1
的步骤


另外，
np.linspace（0,1,4）
将产生
4
等距数字，其中第一个是
0
，最后一个是
1
，从而产生

array([ 0.        ,  0.33333333,  0.66666667,  1.        ])

这可能不是你所期望的。因此，与上述更正一起使用

t = np.linspace(0, T, segm+1)

在两次计算中使用相同的时间点


如果您使用字母的通常含义，则更容易遵循代码，其中
h
或
dt
是步长，而
N
是步数。然后在循环之前定义
h=T/N
或
dt=T/N
，以避免在函数调用中重复使用
T/N
。
谢谢，这很有帮助！谢谢，这很有帮助！