Python 单位向量反规范化

假设我有单位向量，u

from numpy import mat
u = mat([[0.9**0.5], [-(0.1)**0.5]])
# [ 0.9486833  -0.31622777]

单位向量是具有整数项的矩阵的特征向量。我也知道特征值是整数。因此，单位向量将包含无理小数，当平方时，是有理数的十进制近似值

有没有什么好方法可以找到最小值k，使得ku的所有条目都是整数？通常，k是整数的平方根

一种简单的方法是将向量中的每个条目平方，然后找到生成整数的最小ki。那么，k将是所有ki的LCM的平方根。我希望有比这更好的方法

---

---

请注意，这不是重复项。

您可以对这些项进行平方运算，找到每个项的连分数收敛序列，用最近的平方数替换每个收敛项的分子，并查找所有收敛项列表中出现的最小分母（作为收敛项的一部分，精度可以接受）。您对“可容忍精度”的定义允许算法处理一点舍入误差，而不会产生非常大的结果。在您的示例中，9/10和1/10将是前几个收敛点之一，相对误差小于10^-9，sqrt（10）将是您的比例因子（乘以[3，-1]，如果确保恢复符号，您可以直接从收敛点分子的平方根中读取）。但是，如果这个算法找不到公分母，我们还不清楚该怎么办。

好的，这是我的最佳尝试。这个算法似乎有效，但我不能保证它会比您最初提出的更快：

import numpy as np
from fractions import Fraction, gcd

# need some finesse and knowledge of problem domain to fine tune this parameter
# otherwise you'll end up with extremely large k due to precision problems
MAX_DENOMINATOR = 1000

# least common multiple
def lcm(a, b):
    return a * b / gcd(a, b)

# returns the denominator of the square of a number
def get_square_denominator(x):
    return Fraction(x ** 2).limit_denominator(MAX_DENOMINATOR).denominator

# returns the smallest multiplier, k, that can be used to scale a vector to
# have integer coefficients. Assumes vector has the property that it can be 
# expressed as [x**0.5, y**0.5, ...] where x, y, ... are rational with 
# denominators <= MAX_DENOMINATOR
def get_k(v):
    denominators = [get_square_denominator(i.item()) for i in v]
    return reduce(lcm, denominators) ** 0.5

设

u=[cos（α），sin（α）]

v=[p，q]的单位向量，其中

p

和

q

是小整数，一起素数。然后，

tan（α）

是一个有理数

因此，有一种简单的方法可以从

u

中找到

v

：

分数。分数（u[1]/u[0]）。限制分母（）

例如：

v=array([-1,3])
u=v/np.linalg.norm(v)
# array([-0.31622777,  0.9486833 ])
f=Fraction(u[1]/u[0]).limit_denominator()
# Fraction(-1, 3)

如果你想要
k
，
范数（[f.分子，f.分母]）
给出它

p=0
是一个微不足道的特殊情况。
我改进了Christian提供的方法，以便接受范围更广的分数。诀窍是通过将单位向量除以最小的非零项来“预规范化”单位向量。这对于指定最大分母的所有分数都可靠

from fractions import Fraction, gcd

def recover_integer_vector(u, denom=50):
    '''
    For a given vector u, return the smallest vector with all integer entries.
    '''

    # make smallest non-zero entry 1
    u /= min(abs(x) for x in u if x)

    # get the denominators of the fractions
    denoms = (Fraction(x).limit_denominator(denom).denominator for x in u)

    # multiply the scaled u by LCM(denominators)
    lcm = lambda a, b: a * b / gcd(a, b)
    return u * reduce(lcm, denoms)


测试：
以下代码用于确保给定范围内的所有分数正常工作

import numpy as np

from numpy import array
from itertools import combinations_with_replacement


for t in combinations_with_replacement(range(1, 50), 3):
    if reduce(gcd, t) != 1: continue

    v = array(map(float, t))
    u = v / np.linalg.norm(v)

    w = recover_integer_vector(u)

    assert np.allclose(w, v) or np.allclose(w, -v)


从测试时间可以看出，此代码不是很快。我的电脑花了大约6秒钟来测试。我不确定是否可以改进计时。
对于任意单位向量，不一定可以对其进行缩放，使两个条目都是整数。你只关心具有这个性质的单位向量子集吗？@Christian我知道单位向量是一个具有整数项的矩阵的特征向量，并且特征值也是整数。因此，在标准化之前，向量肯定具有有理值。我会把这一点补充到问题中。你只可以访问特征值和特征向量，还是可以访问这些特征值和特征向量的原始矩阵？@Christian我可以访问，但我不想重新计算矩阵的对角线。我主要是寻找不依赖特征值或矩阵的解决方案，因为这不适用于其他情况。目前，这里有一个解决方案。我回家后会尝试实现它。向量的长度和公分母都是相对有界的（即没有疯狂的情况）。据推测，这将有助于“可容忍的准确性”和准确识别除数的LCM？这似乎是一个有趣的方法，但这不会具有与原始“天真方法”相同的算法复杂性吗？@Christian我的直觉让我认为这种方法将是O（logn）而不是O（n）其中n是分母，但我需要重新研究连分数来验证这个说法。就复杂性而言，“最近的平方数部分”显然是恒定时间。你对这个问题非常好奇，你有什么见解吗？（我不想让这听起来好斗，任何想法都是受欢迎的。）我非常愿意承认数字的东西不是我的强项，所以我很高兴在这里看到更多的答案。我不确定这种方法是否比其他方法更快或更好，只是把它作为一个建议扔出去：）@Jared没有感觉到战斗力。我对这个问题很感兴趣，整天都在思考这个问题，但还没有想出比你最初提出的算法更好的方法。希望不久我会有一个想法：）这工作做得很好，很好。为了对复杂性产生任何影响，我们必须深入研究分数的内部工作机制，这本身可能是另一个冒险。要详细说明，
float.as_integer_ratio
启动该过程，但会产生10^15的分母。剩下的工作是在
极限分母
中完成的，其中一部分类似于欧几里得算法。从docstring中，“那么可以证明有理数是x的最佳上下近似，当且仅当它是（唯一最短）连分式的收敛或半收敛。”很高兴你喜欢它！是的，我想知道
分数
模块是否在幕后使用了@Hobbs的一些聚合思想。至于复杂性，我有点不知所措，但如果有什么问题的话，在大多数情况下，它可能会比你最初的建议运行得更快，因为
分数
是（希望）高度优化的。经过进一步的测试，这仅限于非常小的分母。例如，[-50，1]将不起作用
import numpy as np

from numpy import array
from itertools import combinations_with_replacement


for t in combinations_with_replacement(range(1, 50), 3):
    if reduce(gcd, t) != 1: continue

    v = array(map(float, t))
    u = v / np.linalg.norm(v)

    w = recover_integer_vector(u)

    assert np.allclose(w, v) or np.allclose(w, -v)