Python 使力最小化的最佳轨迹，最终条件问题

我试图找到一条轨迹，它能使物体从一点移动到另一点的力的平方积分最小化。以下是系统动力学：

dx/dt = v (derivative of position is velocity)
dv/dt = u (derivative of velocity is acceleration, which is what I am trying to minimize)
min integral of u**2

初始条件和最终条件为：

x(0) = 0, v(0) = 0
x(1) = 1, v(1) = 1

我已经使用Gekko库在python中实现了这一点，但是我无法使最终条件正常工作。使用

m.fix（）

固定末端位置会使问题无法解决

在线阅读时，我使用了

m.Minimize（）

来进行软约束，但解决方案与最终条件相差甚远。我添加了一个额外的方程式，使速度在结尾处小于零，这使得解看起来像是正确的解，尽管结尾位置是错误的（如果解按因子缩放，它将是正确的）

我应该妥善解决这个问题吗

from gekko import GEKKO
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

##model

m = GEKKO() # initialize gekko

nt = 101
m.time = np.linspace(0,1,nt)

# Variables
x = m.Var(value=0)
v = m.Var(value=0)

u = m.Var( fixed_initial=False)

p = np.zeros(nt) # mark final time point
p[-1] = 1.0
final = m.Param(value=p)

# Equations
m.Equation(x.dt()==v)
m.Equation(v.dt()==u)

#m.Equation(x*final >= 1) #@error: Solution Not Found
m.Equation(v*final <= 0)

m.Minimize(final*(x-1)**2)
m.Minimize(final*(v-0)**2)

m.Obj(m.integral(u**2)*final) # Objective function

m.options.IMODE = 6 # optimal control mode

##solve
m.solve() # solve

##plot
plt.figure(1) # plot results
plt.plot(m.time,x.value,'k-',label=r'$x$')
plt.plot(m.time,v.value,'b-',label=r'$v$')
plt.plot(m.time,u.value,'r--',label=r'$u$')
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')

##show plot
plt.show()

从gekko导入gekko
将numpy作为np导入
将matplotlib.pyplot作为plt导入
##模型
m=GEKKO（）#初始化GEKKO
nt=101
m、 时间=np.linspace（0,1，nt）
#变数
x=m.Var（值=0）
v=m.Var（值=0）
u=m.Var（固定首字母=False）
p=np.零（nt）#标记最终时间点
p[-1]=1.0
最终=m.Param（值=p）
#方程式
m、 方程（x.dt（）==v）
m、 方程（v.dt（）==u）
#m、 方程（x*final>=1）#@错误：未找到解决方案
m、 方程（v*final您可以通过在最终条件上增加权重来解决问题：

m.Minimize（最终*1e5*（x-1）**2）
m、 最小化（最终*1e5*（v-0）**2）

与
u
最小化仍有一些折衷，但它是最小的

当
final=0
时，约束
m.Equation（x*final>=1）
不可行，因为这会导致不等式
0>=1
。如果要使用最终位置约束，则需要使用
m.Equation（（x-1）*final>=0）
，以便约束仅在末尾强制执行，但可行
（0>=0）
其他地方。最终条件不一定需要硬约束和软（目标函数）约束。下面是一个示例


从gekko导入gekko
将numpy作为np导入
将matplotlib.pyplot作为plt导入
m=GEKKO（）#初始化GEKKO
nt=101；m.time=np.linspace（0,1，nt）
#变数
x=m.Var（值=0）
v=m.Var（值=0）
u=m.Var（固定首字母=False）
p=np.零（nt）#标记最终时间点
p[-1]=1.0
最终=m.Param（值=p）
#方程式
m、 方程（x.dt（）==v）
m、 方程（v.dt（）==u）
m、 方程（（x-1）*最终>=0）
m、 方程式（v*最后一点，谢谢。还有一个问题-你知道如何使“u”最初不为零吗？我将fixed_initial设置为False，但默认情况下它似乎仍将其设置为零。这个问题的解析解最初将“u”设置为非零值。初始条件不会改变解决方案。这是第二个时间步骤，并且会产生影响更改解决方案。如果它不影响解决方案，则应将其设置为零，以最小化
u**2
。如果希望绘图看起来更好，可以将初始条件更改为等于第二时间步，即u.value[0]=u.value[1]。以下是相关帖子：