Recursion 计算机程序结构和解释中的斐波那契树递归

在Abelson/Sussman的经典文本《计算机程序的结构和解释》中，在关于树递归和斐波那契序列的第1.2.2节中，他们展示了以下图像：

第五斐波那契数计算中的树递归过程

然后他们写道：“请注意，

（fib 3）

（几乎一半的工作）的整个计算都是重复的。事实上，不难证明该过程将计算

（fib 1）

或

（fib 0）

（通常，上述树中的叶子数）的次数正是fib（n+1）。”

我知道他们在强调树递归，以及Fibonacci树递归的这个经典例子是如何效率低下的，因为递归函数本身调用了两次：

计算斐波那契数的树递归函数

我的问题是，为什么很明显（即“不难证明”）树叶的数量等于序列中的下一个斐波那契数？我可以从视觉上看到这一点，但我看不到为什么叶子的数量（减少的

fib1

和

fib0

计算）应该是下一个斐波那契数的指标（在本例中是8，即fib6，即第六个斐波那契数，即fibn+1，其中n是5）

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很明显，斐波那契数列是如何计算的——数列中前两个数的和会产生当前数，但为什么叶子的数目恰好等于数列中的下一个数？这里的联系是什么（除了显而易见的，看它并将1和0的叶子相加，事实上，在这种情况下，总计数为8，这是下一个（第6个）斐波那契数，依此类推）？

n=1子句的数量必须等于fib（n），因为这是非零数的唯一来源，如果一些1s的和等于fib（n），那么一定有fib（n）

由于fib（n+1）=fib（n）+fib（n-1），我们只需要证明存在计算fib（0）的fib（n-1）叶。我不太清楚如何证明这一点，但也许它与前一个案例不一样

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也许一个更简单的方法就是归纳式地完成整个过程

对于我们的基本情况：

• N=0：树中有fib（N+1）=fib（1）=1片叶子。通过检查证明
• N=1：树中有fib（N+1）=fib（2）=1片叶子。通过检查证明

归纳步骤：为了计算任意N的fib（N），我们计算fib（N-1）一次，和fib（N-2）一次，并将它们的结果相加。通过归纳，树中有fib（N）叶来自我们对fib（N-1）的计算，树中有fib（N-1）叶来自我们对fib（N-2）的计算

因此，在我们的整个树中有fib（N）+fib（N-1）叶，这等于fib（N+1）。QED.

“不难表现”比“显而易见”更难

使用两个基本案例的归纳法。
让我们调用

Fib（x）

，

Fib01（x）

那么

现在假设kFib01（k）=Fib（k+1）

Fib01(n) = Fib01(n-1) + Fib01(n-2) 
         = Fib(n) + Fib(n-1) 
         = Fib(n+1) by definition

---

QED.

我们可以通过外推来证明这一点

Fib（0）

=1的叶数。

Fib（1）

=1的叶数

现在，表达式

Fib（2）

基本上是

Fib（1）+Fib（0）

的和，即

Fib（2）=Fib（1）+Fib（0）

。因此，从树本身，您可以看到

Fib（2）

的叶数等于

Fib（1）

和

Fib（0）

的叶数之和。因此，

Fib（2）

的叶数等于2

接下来，对于

Fib（3）

而言，假期数将是

Fib（2）

和

Fib（1）

的假期之和，即

2+1=3

正如您现在一定已经观察到的，这遵循一种类似于斐波那契级数的模式。事实上，如果我们将

Fib（n）

的叶数定义为

FibLeaves（n）

，那么我们可以看到这个序列是

Fib（n）

左移了1个空间

Fib（n）=0,1,1,2,3,5,8,13,21，…

n=1,1,2,3,5,8,13,21，…

因此，叶数将等于

Fib（n+1）

Fib01(n) = Fib01(n-1) + Fib01(n-2) 
         = Fib(n) + Fib(n-1) 
         = Fib(n+1) by definition