Recursion 递归lambda演算函数

我想创建一个lambda演算函数p，使得

（pxyz）

给出

（（xy）（xp）（pz））

。我曾尝试使用Y组合子/图灵组合子的变体，即

λg.（g）

形式的函数，因为我需要复制函数本身，但我看不到任何前进的方向。任何帮助都将不胜感激。

将帮助您创建一个自引用lambda抽象

这里是Ω，最小的非终止程序，很好地展示了U组合符

((λf. (f f))
 (λf. (f f)))

如果你能给它起个名字

Ω := λf.(f f)

下面是您的抽象可能的样子

((λP. (P P x y z))
 (λP. λx. λy. λz. ((x y) (x P) (P z))))

或使用Ω

λx. λy. λz. Ω (λP. λx. λy. λz. ((x y) (x P) (P z))) x y z

---

基本上你想要解“β方程”

pxyz=（xy）（xp）（pz）

。 有一种求解形式为

M=。。。M…

。 您只需将右侧包裹在lambda中，形成术语

L

，其中所有出现的

M

均替换为

M

：

L = λm. ... m ...

然后使用定点组合器，你得到你的解。让我用你的例子来说明

L = λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z)),
    where λxyz. is a shorthand for λx. λy. λz.   

然后，

p=yl

，展开

Y

和

L

我们得到：

P = (λf. (λg. f (g g)) (λg. f (g g))) (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z)))
  ->β
(λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))
// the previous line is our "unfolded" P

让我们检查

p

是否符合我们的要求：

P x y z
    =   // unfolding definition of P
(λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) x y z
    ->β
((λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) x y z
    ->β
(λxyz. (x y) (x ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)) x y z
    ->β
(x y) (x ((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)))) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)
    =   // folding 1st occurrence of P
(x y) (x P) (((λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g)) (λg. (λp. (λxyz. (x y) (x p) (p z))) (g g))) z)
    =   // folding 2nd occurrence of P
(x y) (x P) (P z)

Q.E.D