Recursion Prop中的Bove Capretta谓词

Bove Capretta方法（）是一个巧妙的技巧，用于在Agda等语言中对非结构化递归或部分函数进行建模。函数的终止输入以归纳谓词为特征，函数被重写为将谓词作为参数

例如，假设我们想在Agda中编写以下以2为底的对数定义（使用module

Data.Nat

）：

遗憾的是，此定义未通过终止检查器。根据上述Capretta，可以定义以下谓词：

data Loggable : ℕ → Set where
    log-n≡0 : Loggable 0
    log-n≡1 : Loggable 1
    log-n≡n : ∀ {n} → Loggable ⌊ n /2⌋ → Loggable n

然后扩展原始定义，将

Loggable

作为额外参数：

log2 : (n : ℕ) → Loggable n → ℕ
log2 0 _ = 0
log2 1 _ = 1
log2 n (log-n≡n p) = suc (log2 ⌊ n /2⌋ p)

由于

Loggable

谓词用作结构上递减的参数，因此它现在成功地通过了终止检查器。这一切都按预期进行

现在，由于谓词仅用于说服终止检查器，因此将其移动到sort

Prop

是有意义的，因为它不应该有任何计算效果。事实上，检查我们对

log2

的新定义也表明了这一点，因为谓词不用于进行任何尚未由另一个参数确定的大小写拆分

这就是问题所在。首先，将

Loggable

设置为

Prop

禁止在排序

Set

时在其上拆分大小写，这是我们新的

log2

函数中的情况。通常的解决方案是引入一个在sort

Prop

中操作的辅助“反转引理”，它破坏谓词并提取我们需要的部分。不幸的是，这引入了一个新问题——

log2

的结构终止将被破坏，因为Agda无法看到调用“反转引理”的结果在结构上小于其输入

---

（请注意，这个问题的等价物可以用Coq编写，它不会遇到相同的问题，因为它在检查终止之前规范化了表达式，因此提出的“反转引理”方法成功了。）

与Coq中的

Prop

不同（但与

sProp

类似），Agda的

Prop

universe支持定义证明无关性。这意味着

Prop

中类型的任意两个元素定义上等于转换检查器。另一方面，这也意味着对一个术语的求值永远不会停留在

Prop

中类型的参数上，因此这些参数不能用于证明终止。因此，不幸的是，这意味着上述Capretta方法不能与Agda的

Prop

universe一起使用。

log2 : (n : ℕ) → Loggable n → ℕ
log2 0 _ = 0
log2 1 _ = 1
log2 n (log-n≡n p) = suc (log2 ⌊ n /2⌋ p)