Scheme 分配律简化

我试图编写一个程序，利用代数表达式的分布特性来简化它：

(dist '(+ x y (exp x) (* x 5) y (* y 6)))
=> (+ (* x (+ 1 5))
      (* y (+ 1 1 6))
      (exp x))

(dist '(+ (* x y) x y))
=> (+ (* x (+ y 1))
      y)
; or
=> (+ (* y (+ x 1))
      x)

---

正如第二个示例所示，可能有多个结果，我不需要全部列举，只需要一个有效的结果。我想知道是否有人能至少为我提供一个定性描述，说明他们将如何着手解决这个问题？谢谢：）

非常通用的方法：

(dist expr var-list)
=> expr factored using terms in var-list

dist

必须了解诸如

+、-、*、/等“可分发”函数以及它们各自的行为。比如说，如果它只知道前四个，那么：

(dist expr var-list
  (if (empty? var-list) expr
    (let* ([new-expr (factor expr (first var-list))])
      (return "(* var " (dist new-expr (rest var-list)))))

“返回”（*var）语法不正确，但您可能已经知道了。我不是racket或lisp专家，但基本上这归结为字符串处理？在任何情况下，
因子
都需要充实，以便它从
*
函数中删除单个
var
，并从
+
函数中删除所有
var
离子（替换为1）。它还需要足够聪明，只有在至少有两个替换时才能这样做（否则我们实际上什么都没有做）。
Oleg Kiselyov's使得跨术语分配因子变得非常容易：

(define dist
  (λ (expr)
    (pmatch expr
      [(* ,factor (+ . ,addends))
        `(+ ,@(map (λ (addend)
                     (list factor addend))
                   addends))]
      [else
        expr])))

(dist '(* 5 (+ x y))) => (+ (5 x) (5 y))

主要的技巧是匹配一个模式，并从模式中相应的插槽中从表达式中提取元素。这需要一个
cond
和
let
，使用复杂的表达式将
cdr
放到列表中的正确位置，并将
car
从正确的元素中取出。
pmatch
写入
cond
和
让
为您服务

分解公共项比较困难，因为您必须查看所有子表达式以找到公共因子，然后将它们提取出来：

(define factor-out-common-factors
  (λ (expr)
    (pmatch expr
      [(+ . ,terms) (guard (for-all (λ (t) (eq? '* (car t)))
                                    terms))
        (let ([commons (common-factors terms)])
          `(* ,@commons (+ ,@(remove-all commons (map cdr terms)))))]
      [else
        expr])))

(define common-factors
  (λ (exprs)
    (let ([exprs (map cdr exprs)]) ; remove * at start of each expr
      (fold-right (λ (factor acc)
                    (if (for-all (λ (e) (member factor e))
                                 exprs)
                        (cons factor acc)
                        acc))
                  '()
                  (uniq (apply append exprs))))))

(define uniq
  (λ (ls)
    (fold-right (λ (x acc)
                  (if (member x acc)
                      acc
                      (cons x acc)))
                '()
                ls)))


(factor-out-common-factors '(+ (* 2 x) (* 2 y)))
=> (* 2 (+ (x) (y)))

输出可以进一步清理，这不包括分解出1，并且
删除所有
缺失，但我将把这一切留给您。
我没有花时间分析第一个示例，但您的第二个示例是“分解”常见的x或y。您是希望这样做，还是“通过分发”？我知道两者都遵循分配定律，但我想答案可能会有所不同，这取决于你在寻找什么。确切地说，我只是想通过“分解”得到一个表达式任何常见因素。这可能是一种更好的解释方法。如果您正在尝试执行我认为您正在尝试执行的操作，您应该使用宏（或者可能是
apply
）而不是字符串处理。