Time complexity 证明时间复杂度

我试图确定这两个函数的复杂性，其中整数中的D和list是整数的列表：

def solve(D, list):
    for element in List:
      doFunc(element, D, list)

def doFunc(element, D, list):
  quantityx = 0 
  if(D > 0):
    for otherElement in list:
      if otherElement == element:
        quantityx += 1
    return quantityx + (doFunc ((element+1), (D-1), list))
  return 0

---

直观地说，我认为它有一个O（n²），其中n是列表中元素的数量，但我想用一种正式的方式证明它。

第一个观察：

solve

调用

doFunc

，但不是相反。因此，

solve

的复杂性将取决于

doFunc

的复杂性，而不是相反。我们需要先弄清楚

doFunc

的复杂性

设

T（E，D，N）

为

doFunc

的时间复杂度，作为

E

、

D

和列表中元素数

N

的函数。每次调用

doFunc

时，我们对循环进行

N

迭代，然后使用

E+1

，

D-1

调用

doFunc

，列表保持不变。基于此，我们知道，

doFunc

的时间复杂度由以下递归公式给出：

T（E，D，N）=aN+b+T（E+1，D-1，N）

这里，

a

和

b

是一些需要确定的常数

现在我们需要这个递归公式的基本情况。我们的基本情况是，当

D时，我们唯一不递归的时候
D    T(E, D, N)
0    c
1    c + b + aN
2    c + 2b + 2aN
3    c + 3b + 3aN
...
k    c + kb + kaN