Time complexity 特定函数big-O的时间复杂度

如果之前已经回答过，我会提前道歉

我知道以下代码的时间复杂度是O（n！）：

void permutations(int n){
  if(n!=0){
    for(int i=0; i<n; i++){
      permutations(n-1);
    }//for
  }//if
}//permutations

void permutations(int n){
  if(n!=0){
    permutations(n-1);
    permutations(n-1);
  }//if
}//permutations

但是，我很难确定以下代码的复杂性，我怀疑它是O（（n^2）*（n！）），但我不确定这是否正确。如果有人能解释我是否正确，以及为什么，我将不胜感激

void permutations(int n){
  if(n!=0){
    for(int i=0; i<n; i++){
      permutations(n-1);
      permutations(n-1);
    }//for
  }//if
}//permutations

void置换（int n）{
如果（n！=0）{
对于（inti=0；i我相信您的输入有误，意思是O（（2^n）*（n！）），这就是答案

外行的方法：

不做证明（我自己有点生疏），考虑n＝4：


在n=4时，我们循环4次，每次迭代调用置换（3）

两次，总共4 x 2=8次调用

在n=3时，我们循环3次，每次迭代调用置换（2）两次，但在n=4时，我们进行了8次这样的调用，总共3 x 2 x 8=48次调用

在n=2时，我们循环2次，每次迭代调用置换（1）两次，但在n=3时，我们进行了48次这样的调用。因此总共2 x 2 x 48=192次调用

在n=1时，我们循环1次，每次迭代调用

置换（0）

两次，但在n=2时，我们进行了192次这样的调用

我们不关心n=0，因为这是基本情况

检查递归的增长，我们有一个

置换（4）

的单个调用增长到384个调用

• 384==1 x 2 x 192

• 1 x 2（2 x 2 x 48）

• 1 x 2 x（2 x 2 x（3 x 2 x（4 x 2）））

• 2x2x2x2x2x4x3x2x1

• 2^4 x 4

看起来我们可以推断它是O（（2^n）*（n！））

---

解决递归关系：

现在，我已经修改了使用杜克大学的解决递归关系，调整了解决此问题的方法：

• 设T（n）为执行置换（n）的时间，T（0）=1
• 我们知道T（n）=nx2xt（n-1）
  • 这是因为循环n次，执行置换（n-1）两次
• T（n）=nx2x（（n-1）x2xt（n-2））
• T（n）=nx2x（（n-1）x2x（（n-2）x2xt（n-3）））
• 因此，我们可以将k展开式推广为T（n）=2^k*k！
  • 我们可以观察因子n，n-1，n-2，…，1（在基本情况下），这是阶乘分量（k！）
  • 在每次展开时，我们有额外的因子2，因此是2^k
• 因为基本情况是n=0，我们有k=n

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因此，O（（2^n）*（n！））

你做了什么来解决这个问题？看看递归树：在

O（n！）

版本中，每个循环迭代分支一次，现在改为分支两次……f（n）=2n*f（n-1）的

置换（0）

调用次数=2^n*n！。如果n^2是指2^n，那么是的，您是正确的。