Tree 测试等于0%R，实数单位为Coq

我试图为我想在Coq中做的一些事情创建一个加权树库。树的每条边都应该有一个实数值权重。我想要的操作之一是一个修剪函数，如果树的叶边的权重为0，它会修剪树的叶边

以下代码是我对树的设置：

Require Import Coq.Reals.Reals.
Require Import Coq.Lists.List.

Section WeightedTrees.

Inductive wtree' (A : Type)  : Type :=
  | Null : wtree' A
  | LNode : A -> wtree' A
  | INode : A -> list (wtree' A) -> wtree' A.

Inductive Wtype (A : Type) : Type := W: R -> A -> Wtype A.

Definition wtree (A : Type) := wtree' (Wtype A).

(* Helper: checks whether a tree contains an element *)
Fixpoint wt_contains {A : Type} (a : A) (t : wtree A) : Prop :=
match t with
  | Null => False
  | LNode (W w a') => a' = a
  | INode (W w a') l => a' = a \/ (fold_left or (map (wt_contains a) l) True)
end.

下面是我目前对剪枝函数的尝试。Coq不接受它，因为0%R不是共感应类型

Fixpoint wt_prune_list {A : Type} (l:list (wtree A)) : (list (wtree A)) :=
match l with
| nil => nil
| (cons Null l) => (cons (Null (Wtype A)) (wt_prune_list l))
| (cons (INode w l') l) => (cons ((INode (Wtype A)) w l') ((wt_prune_list A) l))
| (cons (LNode (W w a')) l) => 
  if w = 0%R then
    (wt_prune_list l)
  else 
    (cons (LNode (W w a')) (wt_prune_list l))
end.

所以我有几个问题：

最重要的是：如何修复上述代码，使其修剪零权重的叶边树

检查像

w=0%R

这样的东西是否有意义？我想，如果我们有一个证明，

w=0%R

，我们应该把这看作是在说。是这样吗

是否有较短的写行方式，如：

（cons（INode w l'）l）=>（cons（（INode（Wtype A））w l'）（（wt_prune_list A）l））

？我知道我本可以匹配

（cons（INode）\uu）

，但似乎我没有好的方法来构建另一面。如果有类似于

（cons（INode\u 1）\u 2）=>（cons（INode\u 1）（（wt\u prune\u list A）\u 2）

的东西，Coq可以发现

\u 1

以与

相同的方式表示多个参数

---

这里的问题是，标准Coq库中实数的定义不是计算性的，而是公理性的。这意味着在Coq中没有办法用实数进行计算，只能证明实数。另一种方法是使用，甚至是纯自然数

您的代码还有一个微妙的概念问题：它使用纯逻辑实体而不是计算实体，即您的函数使用的是

Prop

而不是

bool

Prop

s不能像

bool

那样真正产生答案；特别是，您无法测试

Prop

i这是真是假，就像你在

wt\u prune\u list

中所做的那样。对于这个答案来说，详细讨论这个差异可能太多了，但是一开始你可以把

Prop

看作是你可以试着以交互方式证明的东西，而

bool

只是另一种数据类型，比如

nat

或

list

以下是解决此问题的方法：

• Coq没有生成

  bool

  的通用相等运算符。原因是没有确定两个值是否相等的通用过程。您使用的

  =

  实际生成的是

  Prop

  。因此，您需要传递到

  wt\u包含一个附加函数
  eqb:测试两个元素是否相等的->A->bool
  。在对特定类型实例化
  wt_contains
  时，您必须为该类型编写一个版本的
  eqb
  。标准库中的type类可以减少编程的难度
  

• 在

  wt_prune_list

  中，您还必须使用该数字类型的相等运算符测试数字是否为零（例如，对于有理数，

  Qeq_bool

  对于自然数，

  beq_nat

  ）

• 使用布尔值或

  |

  代替

  \/

---

最后，不幸的是，没有什么能达到您建议的

\u 1

模式的效果。

这里的问题是，标准Coq库中实数的定义不是计算性的，而是公理性的。这意味着在Coq中没有办法用实数计算，只能证明它们的相关情况。一个另一种选择是使用自然数，甚至是简单的自然数

您的代码还有一个微妙的概念问题：它使用纯逻辑实体而不是计算实体，即您的函数使用的是

Prop

而不是

bool

Prop

s不能像

bool

那样真正产生答案；特别是，您无法测试

Prop

i这是真是假，就像你在

wt\u prune\u list

中所做的那样。对于这个答案来说，详细讨论这个差异可能太多了，但是一开始你可以把

Prop

看作是你可以试着以交互方式证明的东西，而

bool

只是另一种数据类型，比如

nat

或

list

以下是解决此问题的方法：

• Coq没有生成

  bool

  的通用相等运算符。原因是没有确定两个值是否相等的通用过程。您使用的

  =

  实际生成的是

  Prop

  。因此，您需要传递到

  wt\u包含一个附加函数
  eqb:测试两个元素是否相等的->A->bool
  。在对特定类型实例化
  wt_contains
  时，您必须为该类型编写一个版本的
  eqb
  。标准库中的type类可以减少编程的难度
  

• 在

  wt_prune_list

  中，您还必须使用该数字类型的相等运算符测试数字是否为零（例如，对于有理数，

  Qeq_bool

  对于自然数，

  beq_nat

  ）

• 使用布尔值或

  |

  代替

  \/

---

最后，不幸的是，没有什么能达到您建议的

\u 1

模式的效果。

谢谢。不幸的是，对于我的应用程序，我需要reals和preferential fxns，所以coq似乎无法解决我的问题。我很好奇您想用树做什么。您想用它有效地计算什么吗se树？如果是，您希望如何对任意实数进行运算？如果您需要实数，则无法测试它们的相等性。您最好使用