Wolfram mathematica wolfram | Alpha在积分极限上不返回结果

我需要一个逐步解决方案，并键入以下内容：

=Limit[Integrate[(e^x^2 *n)/(1 + n^2 x^2), {x, 0, 1}], n -> Infinity]

它只返回“（无可用解释）”。该公式应产生pi/2

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我能有一些关于如何做对的想法吗？谢谢。

问题是您使用了字符

e

来表示欧拉数。不幸的是，

e

只是一个变量，您对

e

感兴趣。这与

pi

vs

pi

是一样的。一个是变量，另一个是无理数

你可以考虑打字：

=Limit[Integrate[E^(x^2)*n/(1+(n*x)^2),{x,0,1}],n->Infinity]

或

但是，如果您想使用Mathematica获得一个结果，那么您可能更感兴趣的是通过替换nx=y来重写积分，这将为您提供：

In> Limit[Integrate[Exp[(y/n)^2]/(1+y^2),{y,0,n}],n->Infinity]
Out> Pi/2

在这种情况下，该积分非常简单，因为指数下降到1，您只需求解标准积分：

In> Integrate[1/(1+y^2),{y,0,Infinity}]
Out> Pi/2

另一种方法是将指数函数写成级数展开式，从而得到如下形式的积分之和：

In> Limit[Integrate[y^(2 m)/(1+y^2),{y,0,n}]/(m! n^(2 m)),n->Infinity]

这个极限比以前更简单，因为您不需要执行任何测试来检查积分和极限是否可互换

现在假设

I[m,n] = Integrate[y^(2 m)/(1+y^2),{y,0,n}]/(m! n^(2 m))

那么你就知道，对于m>0，I[m，n]≤ J[m，n]，带

从0开始≤ I[m，n]≤ J[m，n]，我们知道0≤ I[m，无穷大]≤ J[m，无穷大]=0，对于m>1，或I[m，无穷大]=0。这给我们留下了I[0，无穷大]：

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虽然这不是一个真正的Mathematica问题，更像是一个数学堆栈交换问题，但我相信这回答了您的问题。

我认为这超出了它的能力。。。它将返回一些分母中没有任何x的东西…我已经更新了答案，希望它能帮助您。

I[m,n] = Integrate[y^(2 m)/(1+y^2),{y,0,n}]/(m! n^(2 m))

J[m,n] = Integrate[y^(2 m - 2),{y,0,n}] = n^(2m - 1)/(2m - 1)/(m! n^(2 m))

Limit[Integrate[Exp[(y/n)^2]/(1+y^2),{y,0,n}],n->Infinity] =
   Integrate[1/(1+y^2),{y,0,Infinity}]