Wolfram mathematica Mathematica:“；15位Sqrt[x]产生42+；x的百万位数；

我在Mathematica中这样做是为了计算Sqrt[5]：

a[0] = 2 
a[n_] := a[n] = a[n-1] - (a[n-1]^2-5)/2/a[n-1] 

a[25]与Sqrt[5]的距离有多近

N[Sqrt[5]-a[25]] // FortranForm 
4.440892098500626e-16 

[25]^2到5的距离有多近

N[a[25]^2-5] // FortranForm 
8.305767102358763e-42074769 

我觉得这很奇怪。我的估计：如果x在Sqrt[5]的10^-n范围内， 那么x^2在5的10^（-2*n）范围内，给定或获取。不事实上：

a[25]^2 = (Sqrt[5]-4.440892098500626e-16)^2 ~ 5 - 2*5*4.440892098500626e-16 

（扩展（a-b）^2），因此精度应仅为14位左右 （一般为n位）

当然，牛顿的方法在25分钟内只能产生15个精确数字 迭代似乎也很奇怪

在上面的计算中，我是否过早地失去了精度？请注意：

N[Log[Sqrt[5]-a[25]]] // FortranForm 
-35.35050620855721 

同意上述15位精度，即使我不同意

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取日志（因此它应该是准确的）

问题在于Mma如何计算您的序列

a[n]是有理数。让我们以对数比例查看分子的数量级：

a[0] = 2 
a[n_] := a[n] = a[n-1] - (a[n-1]^2-5)/2/a[n-1] 
ListPlot@Table[Log[10, Log[10, Numerator[ a[i]]]], {i, 1, 25}]

所以，你们的分子是以双指数的形式增加的

在[25]之前，10^-16精度已经达到：

For[i = 1, i < 5, i++,
 Print["dif[", i, "]= ", N[a[i] - Sqrt[5], 16]]
 ]

dif[1]= 0.01393202250021030

dif[2]= 0.00004313361132141470

dif[3]= 4.160143063513508*10^-10

dif[4]= 3.869915959583412*10^-20  

对于[i=1，i<5，i++，
打印[“dif[”，i，“]=”，N[a[i]-Sqrt[5]，16]]
]
dif[1]=0.0139320250021030
dif[2]=0.000043133161132141470
dif[3]=4.160143063513508*10^-10
dif[4]=3.869915959583412*10^-20

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之后，您就开始控制除法的精度，因为[5]的分子已经有20位了

您是否看到我对“N[a[25]^2-5]”的计算有问题。我猜这是准确的，因为结果是合理的，直到我做N[]？@barry你的计算很好。但是增加分子和分母会使N[]走入歧途。您在[4]处已经有了20个正确的数字！