Wolfram mathematica 数学中的二次规划

我在研究最大独立集问题的二次松弛（第22页），发现

FindMaximum

对于我尝试的每一个图都失败了，除非我给出它的最优解作为起点。这些二次规划有10-20个变量，所以我希望它们是可解的

有没有办法让Mathematica解这样的二次规划

在Mathematica内部是否有易于调用的二次规划包

下面是一个失败的示例

FindMaximum

，然后在解决方案中初始化工作

FindMaximum

setupQuadratic[g_Graph] := (
   Ag = AdjacencyMatrix[g];
   A = IdentityMatrix[Length@VertexList@g] - Ag;
   cons = And @@ Table[0 <= x[v] <= 1, {v, VertexList@g}];
   vars = x /@ VertexList[g];
   indSet = FindIndependentVertexSet@g;
   xOpt = Array[Boole[MemberQ[indSet, #]] &, {Length@VertexList@g}];
   );

g = GraphData[{"Cubic", {10, 11}}];
setupQuadratic[g];
FindMaximum[{vars.A.vars, cons}, vars]
FindMaximum[{vars.A.vars, cons}, Thread[{vars, xOpt}]]

---

看来，

最大化

将为您提供更好的服务。这是您的函数的一个修改版本，它返回一个包含两个结果的列表—“手动”结果和通过

最大化

获得的结果：

Clear[findIVSet];
findIVSet[g_Graph] :=
Module[{Ag, A, cons, vars, indSet, indSetFromMaximize, xOpt},
  Ag = AdjacencyMatrix[g];
  A = IdentityMatrix[Length@VertexList@g] - Ag;
  cons = And @@ Table[0 <= x[v] <= 1, {v, VertexList@g}];
  vars = x /@ VertexList[g];
  indSet = FindIndependentVertexSet@g;
  xOpt = Array[Boole[MemberQ[indSet, #]] &, {Length@VertexList@g}];
  {indSet, DeleteCases[vars /. (Last@
    Maximize[{vars.A.vars, cons}, vars,Integers] /. (x[i_] -> 1) :> (x[i] -> i)), 0]}];

对于“手动”的和来自

最大化的那些，它们并不总是相同的，但是还有不止一个
独立集的一个解。
Maximize
的结果都是独立的集合，很容易验证：

In[34]:= MapThread[IndependentVertexSetQ, {graphs, sets[[All, 2]]}]

Out[34]= {True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, True, 
True, True,True}

在我看来，FindMaximum在这里不起作用的原因是函数的狂野性。我在可变空间中尝试了一个包含1048576个样本的网格，没有一个样本的值高于零。您的最佳起始值为-20

In[10]:= (x[1]^2 + x[2]^2 + x[3]^2 - 2 x[3] x[4] + x[4]^2 - 
  2 x[2] (x[3] + x[4]) + x[5]^2 - 2 x[3] x[6] - 2 x[5] x[6] + 
  x[6]^2 - 2 x[5] x[7] + x[7]^2 - 2 x[6] x[8] - 2 x[7] x[8] + 
  x[8]^2 - 2 x[7] x[9] + x[9]^2 - 2 x[1] (x[2] + x[5] + x[9]) - 
  2 x[4] x[10] - 2 x[8] x[10] - 2 x[9] x[10] + x[10]^2 /. 
 Thread[vars -> #]) & @@@ Tuples[{0.0, 0.333, 0.667, 1.0}, 10] // Max

Out[10]=0

In[11]:= (x[1]^2 + x[2]^2 + x[3]^2 - 2 x[3] x[4] + x[4]^2 - 
 2 x[2] (x[3] + x[4]) + x[5]^2 - 2 x[3] x[6] - 2 x[5] x[6] + 
 x[6]^2 - 2 x[5] x[7] + x[7]^2 - 2 x[6] x[8] - 2 x[7] x[8] + 
 x[8]^2 - 2 x[7] x[9] + x[9]^2 - 2 x[1] (x[2] + x[5] + x[9]) - 
 2 x[4] x[10] - 2 x[8] x[10] - 2 x[9] x[10] + x[10]^2 /. 
Thread[vars -> #]) & @@@ {xOpt}

Out[11]= {-20}

可能尝试位于的包中显示的方法。见问题8

丹尼尔·利奇布劳
Wolfram Research
您链接的论文非常好。谢谢我已经有了FindIndependentVertexSet中的独立集，它可能会在内部使用类似于你所建议的东西，我实际上感兴趣的是找到原始二次，实数的最大值domain@Yaroslav你为什么对真正的领域感兴趣？据我所见，在你链接的文章中明确指出，所有变量只能有值0或1（即整型域）。那么，对于这个问题，是什么让你认为实域的结果与最大独立集问题有关呢？很明显，我们不是在寻找局部极值，所以约束很重要。用连续约束找到的极值可能与用离散约束找到的极值大不相同。还是我完全没有抓住要点？因为在整数域中求解它是NP完全的，而实值QP编程是容易处理的。丢弃整数约束被称为“松弛”，它对某些类型的图出人意料地有效--@Yaroslav它是可处理的，但最大化是非凸的（在这种情况下，最小化是凸的）。所以不能保证全局性。有趣的是，我想这个QP并不像我想的那么容易。显然，此类非凸QP问题被称为“盒子QP”。上述目标简化为
次[-20，幂[Slot[1]，2]]
后的
ReplaceAll
。评估原始目标的一种方法是
vars.A.vars/。线程[vars->xOpt]
顺便说一句，如果您将
@@
替换为
或者将
替换为
{code>}
（但不能同时替换两者！），则可以修复上述问题。我扩展了vars.A.vars，因为它在我的机器上节省了2.3倍的时间。我知道第二部分可能写得不一样。我这样做只是为了保持代码的结构不变。我的观点是有一个bug，目标应该是
4
at
xOpt
，而不是
-20
有趣，谢谢。顺便说一句，通过使用二次规划的SDP松弛，我也得到了很好的结果--
In[10]:= (x[1]^2 + x[2]^2 + x[3]^2 - 2 x[3] x[4] + x[4]^2 - 
  2 x[2] (x[3] + x[4]) + x[5]^2 - 2 x[3] x[6] - 2 x[5] x[6] + 
  x[6]^2 - 2 x[5] x[7] + x[7]^2 - 2 x[6] x[8] - 2 x[7] x[8] + 
  x[8]^2 - 2 x[7] x[9] + x[9]^2 - 2 x[1] (x[2] + x[5] + x[9]) - 
  2 x[4] x[10] - 2 x[8] x[10] - 2 x[9] x[10] + x[10]^2 /. 
 Thread[vars -> #]) & @@@ Tuples[{0.0, 0.333, 0.667, 1.0}, 10] // Max

In[11]:= (x[1]^2 + x[2]^2 + x[3]^2 - 2 x[3] x[4] + x[4]^2 - 
 2 x[2] (x[3] + x[4]) + x[5]^2 - 2 x[3] x[6] - 2 x[5] x[6] + 
 x[6]^2 - 2 x[5] x[7] + x[7]^2 - 2 x[6] x[8] - 2 x[7] x[8] + 
 x[8]^2 - 2 x[7] x[9] + x[9]^2 - 2 x[1] (x[2] + x[5] + x[9]) - 
 2 x[4] x[10] - 2 x[8] x[10] - 2 x[9] x[10] + x[10]^2 /. 
Thread[vars -> #]) & @@@ {xOpt}

Out[11]= {-20}