Z3 一阶微分方程作为一阶公式的编码 有人能帮我指出以下方程使用一阶公式的最佳编码方式，以便将其作为SMT解算器的输入吗？？

你可以很容易地在Z3中对微分方程进行编码，因为它只是n^2+n个实常数（n^2来自a_ij，n来自b_i）和n个实变量（x_i）上的n个线性（仿射）函数的集合。您可以直接在Z3中对其进行编码

dotx_1 = a_11 * x_1 + a_12 * x_2 + a_13 * x_3 + ... + a_1n * x_n + b_1
dotx_2 = a_21 * x_1 + a_22 * x_2 + a_13 * x_3 + ... + a_2n * x_n + b_2
...
dotx_n = a_n1 * x_1 + a_n2 * x_2 + a_n3 * x_3 + ... + a_nn * x_n + b_n

以下是Z3Py中2x2版本的链接：

然而，编码常微分方程的解将是困难的，因为线性常微分方程的解涉及指数（超越函数）。对于解可以表示为多项式（在a_ij常数、x_i变量和/或时间变量t上）的常微分方程类，可以将（精确）解编码为Z3中的多项式（参见，例如，[1]）

然而，对于涉及超越论的一般解决方案，您有许多可能的选择，这取决于您试图实现的目标。一种选择是将超验函数建模为未解释的函数。在各种SMT-LIB基准测试中有一些工作可以做到这一点，但我对这些不太熟悉，所以希望其他人能够指出它们的链接。如果你想证明一些关于这些常微分方程解的引理，这将是非常有用的。一些工具，如MetiTarski，保持了超越函数的上下限近似值（例如，使用截断泰勒级数，这是多项式，因此在Z3中可以表示），但我不知道这在Z3中的地位，但看起来可能有一些支持，Leonardo可以对其进行更多评论[6]

如果您正在进行可达性计算，那么您可能会过度接近可达集，这可以通过ODE解决方案的更简单（更抽象）表示来完成。例如，您可以应用杂交技术[2]的一种变体，并将线性动力学与矩形动力学过度近似，例如，划分状态空间的一个有趣子集，然后在每个分区中，在每个维度dotx_i=a_i1 x_1+a_i2 x_2+…+下和上近似每个维度b_i和dothatx_i在[C，D]中，对于一些常数C和D，选择以确保原始（具体）x_i的每个解都包含在过近似（抽象）解hatx_i集中。从时间0到t的hatx_i的解集在区间[ct+x_i（0），dt+x_i（0）]中，其中x_i（0）是时间0时x_i的初始条件，t是要计算到达设置的有界实时。您可以在所有维度上执行此操作。要计算C，D（每个分区和每个维度可能会有所不同），取决于您对可靠性的关注程度，您可以简单地（从数值上）最大化和最小化每个分区中的原始ODE dotx_i

从您的其他帖子来看，您似乎正在尝试模拟混合系统。模拟在试图表示超越性时仍然会遇到问题，因为即使尝试对一条轨迹建模（而不是对一组可能的轨迹建模），也需要表示通常是超越性的解决方案。据我所知，这仍然是在数值模拟社区中进行的[参见，例如，3]，但有关于“保证”（声音）积分的工作，它提供了数值解与实际（分析）解之间的距离的界限[4，5]

[1] 线性向量场族的符号可达性计算。Gerardo Lafferire、George J.Pappas和Sergio Yovine。符号计算杂志，32（3）：231-253，2001年9月

[2] E.Asarin，T.Dang，A.Girard，非线性系统分析的杂交方法，信息学报，43:7，2007，451-476

[3] 《计算矩阵指数的十九种可疑方法》，二十五年后，克里夫·莫勒和查尔斯·范·洛恩，《暹罗评论》，第45卷，第1期（2003年3月），第3-49页

[4] 解析函数的自动保证积分，Martin C.Eiermann，BIT数值数学，1989

[5] GRKLib：一个有保证的龙格库塔图书馆，O.布依苏，M.马特尔，《科学计算、计算机算术和有效数字》，2006年

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[6] 梅特塔斯基证明的实代数策略，格兰特·奥尔尼·帕斯莫尔，劳伦斯·C·鲍尔森和莱昂纳多·德·莫拉。智能计算机数学会议（CICM/AISC），2012，

您可以轻松地在Z3中对微分方程进行编码，因为它只是一组n^2+n个实常数（n^2来自a_ij，n来自b_i）和n个实变量（x_i）上的n个线性（仿射）函数。您可以直接在Z3中对其进行编码

dotx_1 = a_11 * x_1 + a_12 * x_2 + a_13 * x_3 + ... + a_1n * x_n + b_1
dotx_2 = a_21 * x_1 + a_22 * x_2 + a_13 * x_3 + ... + a_2n * x_n + b_2
...
dotx_n = a_n1 * x_1 + a_n2 * x_2 + a_n3 * x_3 + ... + a_nn * x_n + b_n

以下是Z3Py中2x2版本的链接：

然而，编码常微分方程的解将是困难的，因为线性常微分方程的解涉及指数（超越函数）。对于解可以表示为多项式（在a_ij常数、x_i变量和/或时间变量t上）的常微分方程类，可以将（精确）解编码为Z3中的多项式（参见，例如，[1]）

然而，对于涉及超越论的一般解决方案，您有许多可能的选择，这取决于您试图实现的目标。一种选择是将超验函数建模为未解释的函数。在各种SMT-LIB基准测试中有一些工作可以做到这一点，但我对这些不太熟悉，所以希望其他人能够指出它们的链接。如果你想证明一些关于这些常微分方程解的引理，这将是非常有用的。一些工具，如MetiTarski，保持了超越函数的上下限近似值（例如，使用截断泰勒级数，这是多项式，因此在Z3中可以表示），但我不知道这在Z3中的地位，但看起来可能有一些支持，Leonardo可以对其进行更多评论[6]

如果您正在进行可达性计算，那么